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1、学案5 函数与方程,返回目录,1.函数零点的定义 (1)对于函数y=f(x)(xD),把使 的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点. (2)方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 有交点函数y=f(x)有 .,f(x)=0,x轴,零点,考点分析,2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在c(a,b),使得 ,这个c也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,返回目录,f(a)f(b)0,f(c)=0,(a,
2、b),返回目录,4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间a,b,验证 ,给定精确度; 第二步,求区间(a,b)的中点c; 第三步,计算 : 若 ,则c就是函数的零点; 若 ,则令b=c(此时零点x0(a,c); 若 ,则令a=c(此时零点x0(c,b); 第四步,判断是否达到精确度:即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.,f(c)f(b)0,f(a)f(b)0,f(c),f(c)=0,f(a)f(c)0,返回目录,考点一 函数零点的判断与求解,判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x2-3x-18,x1,8; （2） f(x)
3、=x3-x-1,x-1,2; （3） f(x)=log2(x+2)-x,x1,3.,【分析】利用函数零点的存在性定理或图象进行判断.,题型分析,返回目录,【解析】 (1)解法一:f(1)=-200, f(1)f(8)0, f(x)=x3-x-1,x-1,2存在零点. (3)f(1)=log2(1+2)-1log22-1=0, f(3)=log2(3+2)-3log28-3=0, f(1)f(3)0, 故f(x)=log2(x+2)-x在x1,3存在零点.,【评析】函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.,返回目录,对应演练,求下列函数的零点: (1)y=x3-
4、7x+6; (2)y=x+ -3.,返回目录,(1)x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6) =x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3), 解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0, 可得x1=-3,x2=1,x3=2. 函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2. (2)x+ -3= . 解x+ -3=0,即 ,可得x=1或x=2. 函数y=x+ -3的零点为1,2.,返回目录,返回目录,考点二 零点个数问题,求函数y=lnx+2x-6的零点个数.,【分析】该问题转化为求函数y=lnx
5、与y=6-2x的图象的交点个数,因此只需画出图象,数形结合即可.,【解析】在同一坐标系 中画出y=lnx与y=6-2x的图 象如图所示, 由图已知两图 象只有一个交点,故函数y= lnx+2x-6只有一个零点.,【评析】若采用基本作图法,画出函数y=lnx+2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.,返回目录,返回目录,对应演练,已知函数f(x)=ax+ (a1).判断f(x)=0的根的个数.,设f1(x)=ax(a1),f2(x)= - , 则 f(x)=0 的解即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交
6、点的横坐标. 在同一坐标系中,作出函数f1(x)=ax(a1)与f2(x)=- 的图象（如图所示）. 两函数图象有且只有 一个交点,即方程 f(x)=0有 且只有一个根.,返回目录,返回目录,考点三 零点性质的应用,（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数a的值； （2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围.,【分析】 (1)二次项系数含有字母,需分类讨论. (2)利用函数图象求解.,【解析】 (1)若a=0,则f(x)=-x-1, 令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意; 若a0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数, 故有且仅
7、有一个零点等价于=1+4a=0, 解得a=- . 综上所述,a=0或a=- .,返回目录,返回目录,(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点, 即|4x-x2|+a=0有四个根, 即|4x-x2|=-a有四个根. 令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出g(x)的图象如图所示,由图象可知,如果要使|4x-x2|=-a有四个根, 那么g(x)与h(x)的图象 应有4个交点. 故需满足0 -a4,即-4a0. a的取值范围是(-4,0).,【评析】此类方程根的分布问题,通常有两种解法.一是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图 象求解;二是构造两个函数分别作出图象,利用数形结
8、合法求解.此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想.,返回目录,返回目录,对应演练,(1)函数f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14有两个零点,且一个 大于1,一个小于1,求实数m的取值范围; (2)关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且 一根大于4,一根小于4,求实数m的取值范围.,(1)解法一:设方程x2+2(m+3)x+2m+14=0的两根分别为x1,x2(x1x2). 依题意,只需满足(x1-1)(x2-1)0. 即x1x2-(x1+x2)+10. 由根与系数的关系可得 (2m+14)+2(m+3)+10,即4m+210,解得m- . 解法二:由于函数图象
9、开口向上, 故依题意,只需f(1)0, 即1+2(m+3)+2m+140, 即4m+210,解得m- .,返回目录,(2)令g(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14, m0 m0, 解得- m0.,返回目录,依题意得,或,返回目录,考点四 二分法的应用,用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.1).,【分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤.,【解析】由于f(1)=1-1-1=-10, f(x)在区间1,1.5上存在零点, 取区间1,1.5作为计算的初始区间,用二分法逐次计算列表如下: |1.375-1.312 5|=0.062 50.1, 函
10、数的零点落在区间长度小于0.1的区间1.312 5,1.375内. 故函数零点的近似值为1.312 5.,返回目录,返回目录,【评析】 (1)求函数零点的近似值的关键是利用二分法求值过程中区间长度是否小于精确度,当区间长度小于精确度时, 运算即告结束,而此时取的中点值即为所求,当然也可取区间端点的另一个值. (2) 精确度与精确到是两个不同的概念,精确度最后的结果不能四舍五入,而精确到只需区间两个端点的函数值满足条件即取近似值之后相同,则此时四舍五入的值即为零点的近似值.,返回目录,对应演练,利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解(精确到0.1).,如图,由函数 y=lgx 与 y=3-x的
11、图象可以发现 , 方程lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)内.,设f(x)=lgx+x-3,用计算器计算,得 f(2)0 x1(2,3), f(2.5)0 x1(2.5,3), f(2.5)0 x1(2.5,2.75), f(2.5)0 x1(2.5,2.625), f(2.562 5)0 x1(2.562 5,2.625). 因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的近似解为x12.6.,返回目录,返回目录,1.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值. 2.要熟练掌握二分法的解题步骤,尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断.,高考专家助教,祝同学们学习上天天有进步！,
