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1、5 岩体工程中的反分析方法,绪 论 有限元法正分析简要 线弹性位移反分析 粘弹性位移反分析 工程应用,主要内容：,5.1 绪 论,随着上世纪六十年代，电子计算机的问世和快速发展，数值方法成为岩体工程问题分析的主要手段，如何确定本构模型和输入参数就成为这种手段能否成功应用的关键，在通过试验手段获得参数比较困难的背景下，通过现场测定位移反求地应力和岩体力学参数的“反分析方法”被提出，经过多年的研究，目前已成为岩石力学一个独立分支。,5.1.1 问题产生及发展历史,岩石力学中的反分析最早由Kavangh（1973）、Gioda和Maier（1980）等人提出，Sakurai（1983）完成了岩体弹性
2、模量和初始地应力的线弹性有限元位移反分析，此后又发展了弹塑性、粘弹性、粘塑性等非线性位移反分析，并引入了误差分析、优化技术等一些手段，以求获得非线性反分析中的最佳值。,5.1.2 正分析与反分析,1 正分析,2 反分析,岩石力学中的反分析主要有以下几种类型：,已知岩体的本构模型、初始地应力和位移量测值，求岩体物理力学参数; 已知岩体的本构模型、物理力学参数和位移量测值，求初始地应力; 已知岩体的本构模型、物理力学参数、初始地应力和位移量测值，求开挖空间最佳几何形状； 已知初始地应力和位移量测值，求岩体的本构模型及模型参数，即系统辨识。,3 反分析问题的特点,多解性、无解性、不稳定性。,5.1.
3、3 反分析中的几个要素,1 模 型,模型是 “原型”的一种“类似”，任何模型都不能反映出原型的一切特征。 模型的表达形式可以是概念的、物理的或数学的，用数学描述形式建立的模型为数学模型。,2 参数和状态,参数是系统的内部状态变量，反映了系统的本质，是不可测量的；状态是系统的外部表现，是可以测量的。,在岩石力学数学模型中，因变量，如位移、应力、应变均为外部状态变量，弹性模量、泊松比、内粘结力等均为参数。,3 准则函数,由于模型的近似性和量测误差的存在，在已知量和待求量之间对等的情况下，求出的结果往往不能很好地反映系统的本质。 可行的方法就是增加已知量的数量，求待求量的最优值，为此需要引入一个准则
4、函数。 准则函数有两类：以量测值为基础的第一类准则函数；以量测误差及其统计特性为基础的第二类准则函数。常用准则函数。, 常规最小二乘法（OLS法）, 高斯马尔可夫估计（GM法）, 最大似然估计（ML法）, 贝叶斯估计（MAP法）,5.1.4 反分析求解方法,1 逆法,将模型输出表达成待求量的显函数，与量测值构成准则函数直接求解。,2 正法,当模型输出不能表达成待求量的显函数时，先给出待求量的初值，计算出模型的输出，与量测值一起代入准则函数求出准则函数值，按一定的路径待求量的值，可计算出一系列准则函数值，使得准则函数值达到最小的待求量值即为最优值。 该方法是由一系列正算过程构成，故名正法。其适用
5、范围较逆法更广。,正法中要用到最优化方法，最常用的有模式搜索法、变量轮换法、单纯形法、鲍威尔法。,5.2.1 有限单元法的基本思路,将连续求解域离散为有限个、按一定方式相互连接在一起的单元组合体，在每个单元内用一假设的位移函数来表示待求的未知位移场函数，而假设的位移函数用单元节点上的未知位移来表示，以此可导出单元内以未知节点位移所表示的应力、应变，最后通过最小势能原,5.2 有限元法正分析简要,理导出单元每个节点上以未知节点位移表示的平衡方程，整个求解域所有节点平衡方程将构成一方程组，通过求解该方程组可求得各节点上的位移，从而求得单元内的位移、应力、应变。,总之，有限单元法就是将连续无限自由度
6、问题转变为求离散的有限自由度问题，将偏微分方程组的求解转化为代数方程组的求解。,对求解连续体的边值问题，有限单元法是一种近似方法，近似的程度随单元划分加密而提高，但会带来计算工作量的增加。,5.2.2 有限单元法求解的一般过程,确定计算模型，包括计算坐标系、模型整体尺寸、边界条件、计算参数和地应力场； 单元划分，平面三角形（3、6、7节点）、平面四边形（4、8、9节点）、四面体、六面体（8、20、21节点）； 选择位移模式（形函数）；,单元刚度分析； 总刚度分析； 节点等效载荷分析； 整体平衡方程建立； 已知边界条件引入； 求解平衡方程，获得节点位移； 根据几何和物理方程求单元高斯点应变和应力
7、； 计算结果后处理（绘制位移、应力、塑性区曲线 图或等值线图, 位移模式,5.2.3 有限单元法正分析基本方程,以平面四节点的等参单元为例。 等参数单元解决了矩形复杂性问题，坐标变换与位移变幻的形函数一样。,其中：, 几何方程,其中：,（i=1、2、3、4）,根据等参单元的坐标变换式：,得：,其中：,用矩阵表示：, 本构方程,其中：, 单元势能分析,a 单元应变能,令,则,b 体积力势能,设体积力,则体积力势能为：,c 表面力势能,设面力,则面力势能为：,d 集中力势能,设集中力,则集中力势能为：,e 单元总势能,将所有单元势能叠加得系统总势能,根据最小势能原理，真实解应使系统势能最小,即,由
8、此得系统总平衡方程,引入位移边界条件，得最终求解方程：,5.3 线弹性位移反分析,5.3.1 反分析基本公式,以隧道开挖平面应变问题为例。设开挖边界上的初始地应力为：,将该初始地应力转化开挖边界上的等效节点力：,或写成：,在整个求解域上：,根据有限元求解基本方程：,令：,则：,假定量测点与有限元网格节点重合，则可把节点位移分成已知和待求量部分：,相应的平衡方程写为：,将未知位移消去：,其中：,上式可简写为：,其中：,因为测量都是两点相对位移，绝对位移与相对位移之间转化关系：, T 为转换矩阵：,则：,其中,上式中待求量 为3个，若量测值 刚好为3个，则可从上式中求出唯一的,若量测值 多于3个，
9、则通过最小二乘法求得 ，构造以下目标函数,令,得 的最小二乘估计为：,5.3.2 实例,根据围岩内部位移求得：,根据围岩收敛变形求得：,隧道埋深400m，可求得：,则：,5.4 粘弹性位移反分析,5.4.1 反分析基本公式,实际测试的位移是一组随时间变化的值，是由于释放荷载随时间的改变及围岩的蠕变造成，采用粘弹性反分析可以很好反映时间因素。,任意时刻 t 的应变可以看做由瞬时弹性应变和蠕变应变两部分构成：,其中弹性应变：,粘弹性应变：,则：,得：,其中： 为弹性矩阵,任意时刻 t 的有限元平衡方程：,将 代入上述平衡方程：,其中： 称之为综合模量。,常用流变模型的粘弹性模量和综合模量,将位移
10、U( t ) 分为已知和未知两部分,仿照线弹性位移反分析公式推导，得粘弹性反分析基本方程,其中：,5.4.2 参数回归与优化,实际量测过程中，设置测点时间为 t0，到 t 时刻量测的位移是 t0t 之间发生的位移，为此把综合模量也用t0t 之间的变化来代替,设从 t0t 之间共进行了n次量 ，每次量测有m个测点，量测结果为：,则利用每次量测的m个测点已知位移，可反求该时刻的综合模量 ，n 次量测可以反求出不同时刻的综合模量：,根据综合模量与模型参数之间的关系，比如P-T模型：,式中：,将上式变换为以下形式：,两边取对数：,令：,得：,用矩阵表示：,其中：,最小二乘法解为：,根据求得的a、b、y
11、i 再求E0、E1、E2、,设 时刻的量测值为：,5.5 工程应用,5.5.1 量测数据预处理,量测数据带有误差，甚至有奇异数据，为此需对其进行一定的数学处理，改善其规律性。最常用的就是多项式拟合。,令：,建立如下目标函数：,求解方程组,得 ai,从而得到：,利用回归公式求得任意时刻的u(ti)进行反分析。,5.5.2 反分析结果检验,方法一：将反分析得到的参数作为输入，在相同模型下进行计算，通过计算结果与量测结果的比较来衡量反分析结果的正确性。 方法二：将反分析得到的参数作为输入，对尚未发生的位移进行预测，根据预测的精度来衡量反分析结果的正确性。,5.5.3 测点布置,（a） 3条收敛测线 （b） 6条收敛测线 （c）收敛测线加内部位移,5.5.4 围岩变形预测,利用小规模实验工程量测结果进行反分析，再用反分析结果对实际工程围岩变形进行预测。 利用正在施工工程的量测结果进行反分析，在利用反分析结果对施工效果和后期围岩变形、支护状态进行预测。,
