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1、第 1 页 共 11 页 椭圆的离心率10 e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e 一一、直直接接求求出出a、c，求求解解e 已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式 a c e 来解决。 例例 1：已知双曲线1 2 2 2 y a x （0a）的一条准线与抛物线xy6 2 的准线重合，则该双曲 线的离心率为（） A. 2 3 B. 2 3 C. 2 6 D. 3 32 解解：抛物线xy6 2 的准线是 2 3 x，即双曲线的右准线 2 31 22 c c c a x，则 0232 2 cc ，解得2c， 3a ， 3 32 a c e ，故选 D 变变式式练练习习 1：若椭
2、圆经过原点，且焦点为0 , 1 1 F、0 , 3 2 F，则其离心率为（） A. 4 3 B. 3 2 C. 2 1 D. 4 1 解解：由0 , 1 1 F、0 , 3 2 F知132c，1c，又椭圆过原点，1ca，3 ca， 2a，1c，所以离心率 2 1 a c e.故选 C. 变变式式练练习习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A. 2 3 B. 2 6 C. 2 3 D2 解解：由题设2a，62 c，则3c， 2 3 a c e，因此选 C 变变式式练练习习 3： 点 P （-3， 1） 在椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba） 的左准线
3、上， 过点P且方向为 5, 2 a 的光线，经直线2y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（） A 3 3 B 3 1 C 2 2 D 2 1 解解：由题意知，入射光线为3 2 5 1xy，关于2y的反射光线（对称关系）为 离心率的专题复习 高中数学资料分享Q Q 群 : 4 6 4 3974 8 8 第 2 页 共 11 页 0525yx，则 055 3 2 c c a 解得3a，1c，则 3 3 a c e，故选 A 二二、构构造造a、c的的齐齐次次式式，解解出出e 根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到 关于e的一元方程，从而解得离心
4、率e。 例例 2：已知 1 F、 2 F是双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的两焦点，以线段 21F F为边作正三角 形 21F MF，若边 1 MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A. 324 B. 13 C. 2 13 D. 13 解解：如图，设 1 MF的中点为P，则P的横坐标为 2 c ，由焦半径公式 aexPF p 1 ， 即a c a c c 2 ，得022 2 a c a c ，解得 31 a c e（ 31 舍去），故选 D 变变式式练练习习 1：设双曲线1 2 2 2 2 b y a x （ba 0）的半焦距为c，直线L过0 , a，b, 0
5、两点. 已知原点到直线的距离为c 4 3 ，则双曲线的离心率为() A.2B.3C.2D. 3 32 解解： 由已知， 直线L的方程为0abaybx， 由点到直线的距离公式， 得c ba ab 4 3 22 ， 又 222 bac, 2 34cab ,两边平方，得 4222 316caca，整理得 016163 24 ee， 得4 2 e或 3 4 2 e， 又ba 0， 21 2 2 2 22 2 2 2 a b a ba a c e， 4 2 e， 2e， 故选 A 高中数学资料分享Q Q 群 : 4 6 4 3974 8 8 第 3 页 共 11 页 变变式式练练习习 2：双曲线虚轴的一
6、个端点为M，两个焦点为 1 F、 2 F， 0 21 120MFF，则双曲线 的离心率为（） A3B 2 6 C 3 6 D 3 3 解解：如图所示，不妨设bM, 0，0 , 1 cF ，0 , 2 cF，则 22 21 bcMFMF，又cFF2 21 ， 在 21MF F中， 由余弦定理，得 21 2 21 2 2 2 1 21 2 cos MFMF FFMFMF MFF , 即 22 22222 2 4 2 1 bc cbcbc ， 2 1 22 22 cb cb ， 222 acb， 2 1 2 22 2 ac a ， 22 23ca ， 2 3 2 e， 2 6 e，故选 B 三三、采
7、采用用离离心心率率的的定定义义以以及及椭椭圆圆的的定定义义求求解解 例例 3：设椭圆的两个焦点分别为 1 F、 2 F，过 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 21PF F为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。 解解：12 12 1 222 22 2 2 21 cc c PFPF c a c a c e 变式练习 1已知长方形 ABCD，AB4，BC3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆 的离心率为. 1 2 变式练习 2已知 F1、F2是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点，以线段 F1F2为边作正三 角形 MF1F2，若边 MF1的中点在
8、双曲线上，则双曲线的离心率是.13 变式练习 3如图， 1 F和 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个 高中数学资料分享Q Q 群 : 4 6 4 3974 8 8 第 4 页 共 11 页 焦点，A和B是以O为圆心，以 1 FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等 边三角形，则双曲线的离心率为.31 四四、根根据据圆圆锥锥曲曲线线的的统统一一定定义义求求解解 例例4：设椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的右焦点为 1 F，右准线为 1 l，若过 1 F 且垂直于x轴的弦的长等于点 1 F到 1 l的距离，则椭圆的离心率是.
9、 解解：如图所示，AB是过 1 F且垂直于x轴的弦， 1 lAD 于D，AD为 1 F到 准线 1 l的距离，根据椭圆的第二定义， 2 1 2 1 1 AD AB AD AF e 变变式式练练习习 1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为1， 则该椭圆的离心率为（） A 2 B 2 2 C 2 1 D 4 2 解解： 2 2 1 22 2 AD AF e 变变式式练练习习 2： 已知双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab ：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线 交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为. 6 5 变变式式练练习习 3：已知椭圆 C：
10、 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k（k0） 的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB ，则 k =.2 五五、构构建建关关于于e的的不不等等式式，求求e的的取取值值范范围围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围， 通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设 椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式 （一）基本问题 高中数学资料分享Q Q 群 : 4 6 4 3974 8 8 第 5 页 共 11 页 例椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 1
11、F， 2 F，两条准线与x轴的交点分别为MN，若 12 MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是 2 1 2 ， Ex1设1a ，则双曲线 22 22 1 (1) xy aa 的离心率e的取值范围是( 25)， （二）数形结合 例已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点分别为 F 1，F2，若该椭圆上存在一点 P，使得F1PF2 60，则椭圆离心率的取值范围是. 1 ,1) 2 Ex1已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，满足 12 0MF MF 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心 率的取值范围是. 2 (0,) 2 （三）利用焦半径的取值范围 例 1已知双曲线 22 22 1(0,0)
12、xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若双曲线 上存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc ，则该双曲线的离心率的取值范围是(1,21) 变：已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左右焦点分别为 F 1，F2，若椭圆的右准线上存在一点 P，使得 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是 Ex1双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则 双曲线离心率的取值范围为1,3 Ex2已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点分别为 F
13、1，F2，若该椭圆上存在一点 P，使得 1 2 PF e PF ， 则该椭圆离心率的取值范围是 21,1) 高中数学资料分享Q Q 群 : 4 6 4 3974 8 8 第 6 页 共 11 页 配配套套练练习习 1. 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba） 的离心率为3， 且它的一条准线与抛物线xy4 2 的 准线重合，则此双曲线的方程为（） A.1 2412 22 yx B.1 9648 22 yx C.1 3 2 3 22 yx D.1 63 22 yx 2已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（） A 3 1 B 3 3 C 2 1 D 2 3 3
14、已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线方程为xy 3 4 ，则双曲线的离心率为（） A 3 5 B 3 4 C 4 5 D 2 3 4在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的 离心率为 A2B 2 2 C 2 1 D 4 2 5在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 2 1 ，则该双曲 线的离心率为（） A 2 2 B2C2D22 6如图， 1 F和 2 F分别是双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的两个焦点，A和B是以O为圆 心，以 1 OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且A
15、BF2是等边三角形，则双曲线 的离心率为（） A3B5C 2 5 D13 7. 设 1 F、 2 F分别是椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba） 的左、 右焦点，P是其右准线上纵坐标为c3 高中数学资料分享Q Q 群 : 4 6 4 3974 8 8 第 7 页 共 11 页 （c为半焦距）的点，且PFFF 221 ，则椭圆的离心率是（） A 2 13 B 2 1 C 2 15 D 2 2 8 设 1 F、 2 F分别是双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点A， 使 0 21 90AFF， 且 21 3 AFAF ，则双曲线离心率为（） A
16、2 5 B 2 10 C 2 15 D5 9已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0, 0ba）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 0 60的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A2 , 1B2 , 1C, 2D, 2 10椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）的焦点为 1 F、 2 F，两条准线与x轴的交点分别为M、N， 若 21 2FFMN ，则该椭圆离心率的取值范围是（） A 2 1 , 0B 2 2 , 0C 1 , 2 1 D 1 , 2 2 答案：1.由3, c a 2 1 a c 可得3,6,3.abc故选 D 2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，2ab，椭圆的离
