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1、第九章 向量代数与空间解析几何,第一节空间直角坐标系与向量的概念 第二节 向量的点积和叉积 第三节 平面与直线 第四节 曲面与空间曲线,第一节空间直角坐标系与向量的概念,一、空间直角坐标系 1.建立空间直角坐标系 在空间中过定点 作三条互相垂直且有相同长度单位的数 轴 、 和 ，分别称为 轴、 轴和 轴， 也称为横轴、纵轴和竖轴，统称为坐标轴。习 惯上，把 轴、 轴放置在水平面上，它们的 正方向按右手螺旋法则确定（如图8-1）， 点为 坐标原点。这样就构成了空间直角坐标系。 任意两个坐标轴确定一个平面，称为坐标面，它们是 、 和 坐标面，三个坐标面把空间分成八个部分，,每一部分称为一个卦限，共
2、有八个卦限，其顺序如图8-2所示。 2.空间直角坐标系中点的坐标 我们来建立点与有序数组的对应关系。 设 为空间的任意一点，过点 作垂直于 坐标面的直线，其垂足为 ，过 分 别作与 轴、 轴垂直且相交的直线，过 作与 轴垂直且相交 的直线，依次得 轴上的三个垂足M、N、R。设 分别 是M、N、R点在数轴上的坐标。这样空间內任一点 就确定了唯 一的一个有序数组 ，用 表示之。 反之，任给一个有序数组 ，它们分别在,二、向量的基本概念及其线性运算 1.向量的基本概念 (1).向量和数量 量可分为两种：数量（或标量）只有大小、没有方向； 向量（或矢量）不仅有大小还有方向。 (2).向量的表示 用黑体
3、小写字母表示向量，如 ， ， 等，有时为了书写方便 也用 等表示。几何上用有向线段表示，起点为 、终 点为 的向量记为 （见图8-4）。,(3).向量的模 向量的大小称为向量的模，用 等表示（即有向线 段的长度）。 特别地，模为1的向量称为单位向量；模为零的向量称为零向量 ，记为 。规定零向量的方向为任意方向。 (4).自由向量、平行向量、相等向量、逆向量 约定：我们所讨论的向量与起点无关，在保持长度和方向不变 的条件下可以自由平移，这种向量称为自由向量。 方向相同或相反的两个向量 和 称为平行向量，记为： ；,把模相等且方向相同的两个向量 和 称为相等向量，记为： ； 把与向量 的模相等但方
4、向相反的向量称为 的逆向量，记为： 。 2.向量的加法及向量与数的乘法 (1).向量的加法 向量 、 的和是以 、 为邻边的平行四边形 的对 角线向量 ，记作 。 这种用平行四边形对角线求两向量和的方法称为 平行四边形法则。,由图8-5可知， ，所以又有 ，即以第一个向量 的终点为起点，做第二个向量 ，连接 ，则 就是 与 的和，并称这种求和方法为三角形法则。该法则可以 推广到多个向量的求和。 例如求向量 的和时，可将它们平行移动，使其首尾相接 ，然后以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为 终点做向量即为 三向量的和，如图8-6。 向量的加法满足如下运算规律： （交换律）； （结合律
5、）；, ； 。 (2).向量的减法 向量的减法可作为加法的逆运算：如果 ，则 。 将 与 平移使它们的起点重合，则由 的终点到 的终点作 一向量（方向指向被减向量 ）就是 （见图8-7）。 (3).数与向量的乘积 定义：设 为一实数，向量 与数 的乘积是一个向量，记作 ，并且规定：, ； 当 时： 与 同向；当 时： 与 反向； 当 时， （零向量）。 数与向量的乘积是一种新的运算，常称为数乘向量，其结果为 一新向量；数乘向量满足如下的运算规律（ 为实数）： （结合律）； （对数的加法的分配律）； （对向量的加法的分配律）。 有了数乘向量，便容易表示出向量的单位向量： 把与向量 同向且模为1的
6、向量称为 的单位向量，记为 ，,显然有 或 。 三、向量的坐标表示法 1向径及其坐标表示 （1）向径 起点在坐标原点 ，终点为 的向量 称为点 的向径 （也称为点 的位置向量），记为 或 。 （2）基本单位向量 在坐标轴上分别与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量称为基 本单位向量，分别用 、 、 表示。,（）向径的坐标表示 若点 的坐标为 ，则向量 ， ， ， 由向量的加法法则有： （见图8-8）。即点 的向径 的 坐标表达式为： 。还可简记 为 ，即 。 2向量 的坐标表达式 设有点 、 ，则以 为起点、以 为终 点的向量： ，又因为 、 均为向径，所以,， ，于是有： ， 这就是说 ： 。
7、 3向量 的模 任给一向量 ，都可将其视为以点 为 终点的向径，由上图（图8-8）不难看出 ， 即 ，亦即 向量 的模： 。,4.空间两点间的距离公式 点 与点 间的距离记为 ，则 ，而 ，所 以得： 。 例1（1）写出点 的向径； （2）写出起点为 ，终点为 的向量的坐 标表达式。 解 （1） 。 （2） 。,例2 已知两点 、 ，求这两点间的距离 。 解 由两点间的距离公式，得 。 例在 轴上求与点 、 等距离的点。 解 设所求点为 ，由条件 ，有： ， 即 ，两端平方得 ，也即 ，故所求点为 。,5.坐标表示下的向量运算 设 ， ，则有： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ；
8、（5） 。 证明从略。,第二节 向量的点积和叉积,一、向量的点积（数量积） 1引例 已知力 与 轴正向夹角为 ,其大小为 ，在力 的作用 下，一质点 沿 轴由 点( )移动到 点( )(如图 8-9），求力 所做的功？ 解 力 在水平方向的分力大小为 ， 所以，力 使质点 沿 轴方向(从 到 )所 做的功为： (1) 注意到 ， ，所以(1)式可写成: (2),点积的定义 定义1 设向量 与 之间夹角为 （ ），则称实数 为 与 的点积（或数量积），并用记号 表示，即 = 特别，零向量与任何向量的点积显然为0（即为数零）。 注意，我们约定两向量 与 间的夹角的范围是 于是由定义1即可得： 3点
9、积满足的运算规律 由点积的定义容易验证点积满足下列运算规律： (1) （交换律）；,（2） （分配律）； （3） （结合律）。 显然 ， 且可 得到以下结论 定理1 两个非零向量 与 垂直（记为 ）的充分必要 条件为 。 证明（见书）。 由此定理可得到： , , ；另 有 , , 。 4点积的坐标表示式 则,由此可得上述两非零向量垂直的充分必要条件又可表为： 另外，由 ,可得两向量，夹角的余弦公式： 例 试证向量 , 是互相垂直（即正交）的,证明 因为 ，所以由定理1知与互 相垂直。 例2 设向量 与 x 轴、y 轴、z 轴正向的夹 角分别为 ， ， ，称其为向量 的三个方向角，并称 、 、
10、为向量 的方向的余弦，试证： , , ，并且 = 1 证明 因为 ， ， ，而单位向量 ， ， 的坐标表达式分别为 ， ， 于是有： ，, = 例3 已知三点 , , , 解 , , , 故 ,二、向量的叉积(向量积) 1引例 设 点为一杠杆的支点 ,力 作用于杠杆上点 处， 求力 对支点 的力矩 . 解 根据物理学知识，力 对点 的力矩是向量 , 其大小为 ，其中 为支点 到 力 的作用线的距离, 为矢量 与 的夹角（如图8-10） 力矩 的方向规定为：伸出右手，让四指与大拇指垂直， 并使四指先指向 方向 ，然后让四指沿小于 的方向握 拳转向力 的方向，这时拇指的方向就是力矩 的方向 因此，
11、力矩 是一个与向量 和向量 有关的向量，其大 小为 ，其方向满足：,（1） 同时垂直于向量 和 ；（2）向量 ， ， 依次符合右 手螺旋法则 2叉积的定义 定义2 两个向量 和 的叉积（也称为向量积）是一个向量，记作 ，并规定如下： （1） ； （2） 的方向规定为： 既垂直于 又垂直于 ，并且 按顺序 ， ， 符合右手螺旋法则（如图8-11） 若把 ， 的起点放在一起，并以 ， 为邻边作一平行四边形， 则向量 与 的叉积的模 即为该平行四边 形的面积（如图8-12）,3叉积满足的运算规律 由叉积的定义可得叉积满足下列运算规律： （1） （反交换律： 与 模相等，方向相反） （2） （与数因子的结合律） （3） （左分配律） （右分配律） 定理2 两个非零向量 、 平行的充要条件是 证明（见书） 由此定理可得： ， ， ； ， ， ， ， ， 4叉积的坐标表示式 设 ， ，,则 = = = 注意 利用三阶行列式，上式可写成 由于两个向量 与 平行的充分必要条件是 ，而 就是 的坐标全为零,即 ， ， 于是得： ， ， 。,所以两个非零向量 与 平行的充分必要条件是：
