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1、高等数学的基础,函数,极限, 研究的对象, 研究的方法,函数 极限 连续,第一章,第一节,函数及性质,一、集合与区间,三、函数的几种特性,四、反函数,五、复合函数、,二、函数概念,第一章,初等函数,1. 集合的概念,定义,集合中的每个事物称为该集合的元素.,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,具有某种特定性质的事物所组成的总体称为集合.,一、集合与区间,(1) 列举法：,例：,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,按某种方式列出集合中的全体元素.,注 设 M 为数集 ,则,表示M中排除了 0 的集 ;,
2、表示M中排除了 0 与负数的集 .,2.集合的表示法,例 整数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,开区间,闭区间,常用集合记号:,R: 实数集合;,N: 自然数集合;,Z: 整数集合;,Q: 有理数集合;,C: 复数集合.,(1)区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,实数集,实数集,即,即,3. 区间和邻域,无穷区间:,半开区间：,以上这些区间统称为有限区间.,(2)点a的 邻域:,其中点 a 称为邻域的中心 , 称为邻域的半径 .,点a的去心 邻域:,点a的左 邻域 :,点a的右 邻域 :,二、映射,引
3、例1,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位 的集合,1. 映射的概念,引例2,f :,定义,设 X , Y 是两个非空集合,如果按照某种,对应法则 f ,使得,有唯一确定的,和它对应 ,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的象 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的一个 原象 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 , 记作,Y 的子集,称为映射f 的值域 , 记作,特别地 , 当 Y 是实数集合时,称 f 为定义在 X 上的泛函 .,若 X , Y 均为实数集合,则称 f 为定义在 X 上的一元函数 .,注,2 在不同数
4、学分支中, 映射 f 又可称为变换或算子.,3元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一 .,1 映射的三要素：,定义域 , 对应规则 , 值域 .,如：,2.几类常见的映射,对映射,(1) 若, 则称 f 为满射;,(2) 若,有,则称 f 为单射;,(3) 若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射 (或写成1-1 映射).,三、函数的概念及图形,1. 函数的概念,定义1 设数集,则称映射,为定义在,D 上的一元函数 ,记为,x 称为自变量,y 称为因变量 ,D 称为定义域 ,f ( D ) 称为值域 .,函数图形:,称点集,为函数 f 的图形.,注 1 函数的二要
5、素 定义域 D 对应法则 f,Rf,对应法则 f,自变量,因变量,例1,下列各组函数是否相同？,(1),答：不同, 因为二者定义域不同. 前者的定义域为,(2),而后者的定义域为,答：不同, 因为二者的 对应法则不同.,注,答：相同.,(3),两个函数是否相同，仅取决与D 和 f，而与f 的表达形式无关，也与变量的记号无关!,2 定义域：,使表达式及实际问题都有意义的自变量所能取得的一切实数值所组成的集合.,例2,解,(1)符号函数,2. 几个特殊的函数举例,(2) 绝对值函数,(3) 取整函数 y = x, x R,阶梯曲线,x表示不超过 x 的最大整数.,四、函数可能具有的几种特性,设函数
6、,又数集,1. 有界性,则称,在I上有界.,为有界函数.,注,1 还可定义有上界、有下界.,则称 f ( x )在 I 上无界.,称 为有上界,称 为有下界,使得,2 f (x) 在数集 I上无界：,函数有界 既有上界又有下界,4函数有界与否与数集I 密切相关;,3,在 I 上单调减少.,当,时,称,在 I 上单调增加；,称,单调增加或单调减少的函数 统称为单调函数.,2. 单调性,注 函数单调与否同所论区间有关.,有,若,则称 f (x)为偶函数;,若,则称 f (x)为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,则当,为奇函数时,3. 奇偶性,偶函数的图形关于y 轴对称 奇函数的图形关
7、于原点对称,例3,证 令,则,由,消去,得,显然,又,4. 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 T 为周期.,周期为 ,周期为,( 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 ).,例如: 常量函数, 狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数;,注,1 周期函数的定义域既无上界也无下界.,思考：,是周期函数吗？,2 并非任何一个周期函数都有最小正周期.,答：不是.,每一个正数都是其周期.,每一个正有理数都是其周期.,这两个函数均无最小正周期!,五、 反函数与复合函数,1. 反函数的定义及性质,定义,若函数,是一一映射,则存在其,使,其中,称此映射,为 f 的反函数 .,逆映射,习惯上 ,的反函数
8、记成,例如, 函数,其反函数为,性质:,(1) 函数,与其反函数,的图形关于,直线,对称 .,其反函数,(减),(减) .,(2) 单调递增,也单调,递增,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线,对称 .,指数函数,例4,解,分段函数的反函数应当逐段求：,解得,反函数为,解得,反函数为,又对于直接函数 y = x 3 来说其值域为 1, 8 ，,故反函数 的定义域为 1, 8 ;,x 1, 8 ;,解得,反函数为,综上所述，所求反函数为,2. 复合函数,则当,由上述函数链可定义,设有函数链,记作,由 D 到 Y 的复合函数 ,时,或,D,f (D1),D1,D2,注,1
9、 并非任何两个 函数都能构成复合函数， 函数的复合是有条件的.,条件：,如：,2求复合函数定义域的方法：由外向内，要求内层函数的函数值落在外层函数的定义域中.,解,故,例5,六、基本初等函数,统称为 基本初等函数.,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,由常数及基本初等函数,称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和,复合步骤所构成 ,可表为,故为初等函数.,初等函数,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,一般地，不能用一个式子表示的分段函数不是初等函数.,内容小结,定义域
10、对应规律,2. 函数的特性,有界性, 奇偶性, 单调性, 周期性,3. 初等函数的结构,1. 函数的定义及函数的二要素,例1 已知函数,求,及,解,函数无定义,并写出定义域及值域 .,定义域,值 域,例2,证,设f (x)是定义在(-a,a)内的任意函数，证明 （1）f (x) + f (-x) 是偶函数； （2）f (x) f (-x) 是奇函数； （3）f (x)总可以表示为一个偶函数与一个 奇函数之和.,(1)令F(x) = f (x) + f (-x),因为在对称区间(a,-a)内，,有 F(-x)= f (-x) + f (x),= f (x) + f (-x)= F(x),所以，F(x)=f (x) + f (-x)是偶函数.,(2)令F(x)=f (x) f (-x),所以,F(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.,(3)作以上两个函数的线形组合,可得,f(x)=,即 f(x)表示一个偶函数与一个奇函数之和.,F(-x)=f(-x)-f(x),=-f(x)-f(-x)=-F(x),例3 求,的反函数及其定义域.,解,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,令,则,故,解,例4,例5,解,例6,解,例7,解,例8,已知,解,故,又因,所以,
