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1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,第八章,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,一、常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记
2、作,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,说明:,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .,二、无穷级数的基本性质,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,(用反证法可证),推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,例如，,用反证法可证,三、级数收敛的必要条件,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则,但,矛盾!,所以假设不真 .,例4. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:,解: (1) 令,则,故,从而,这说明级数(1) 发散.,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,(2),作业,P287 1(3) ； 2（1）； 3(1)； 7(5), (8),
