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1、第一节导数的概念及运算,第三单元 导数及其应用,基础梳理,1. 函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率 (1)函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为_ (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“_”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“_” 2. 函数f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若Dx无限趋近于0时，比值 =_无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作_,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点_处的_相应地，切线方
2、程为_ 3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的_而_，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作_ 4. 基本初等函数的导数公式,5. 导数运算法则 (1)f(x)g(x)=_； (2)Cf(x)=_(C为常数)； (3)f(x)g(x)=_； (4) =_g(x)0 6. 复合函数的导数 一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则yx=yuux, 即yx=yua.,答案：1. (1) (2)数量化视觉化 2. (1) f(x0) (2)(x0，f(x0)切线的斜率y-f(x0)=f(x0)(x-x0) 3.
3、变化变化f(x) 4. k012x3x2- axa-1axln a excos x-sin x 5. (1)f(x)g(x)(2)Cf(x)(C为常数) (3)f(x)g(x)+f(x)g(x) (4),基础达标,1. 函数f(x)=2x+b在区间m，n上的平均变化率为_ 2. 若f(x0)=2，则当k无限趋近于0时， =_. 3. 函数y=x3+cos x的导数为_ 4. (选修2-2P26第4题改编)曲线y= x-cosx在x= 处的切线与直线ax+y-1=0垂直，则a的值为_ 5. (选修2-2P26第6题改编)曲线y=x2+3x-8在与直线y=2的交点处的切线方程为_,答案：1. 2解
4、析：一次函数的平均变化率即为该函数对应直线的斜率 2. -1解析： =- =- f(x0)=-1. 3. 3x2-sin x解析：y=(x3+cos x)=(x3)+(cos x)=3x2-sin x. 4. 1解析：y= +sin x，故k=y|x= = +sin =1，由于切线与直线ax+y-1=0垂直，故-a=-1，即a=1. 5. 7x-y-12=0和7x+y+33=0解析：当y=2时，x2+3x-10=0，解得x=2或-5， 即切点分别为(2,2)和(-5,2)又y=2x+3，则两切线的斜率分别为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)， 化简可得切线方程
5、为7x-y-12=0和7x+y+33=0.,经典例题,题型一导数的定义 【例1】设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化简 =_.,解： 当t无限趋近0时， 原式=4f(a)-5f(a)=-f(a),题型二导数的运算 【例2】求下列函数的导数 (1)y=x2sin x；(2)y= ； (3)y=(3x3-4x)(2x+1)；(4)y= .,解：(1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.,(3)y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，y=24x3+9x2-16x-4.,(4)y=(1+x2)- =- (1+x2)- (1+x2
6、) =-x(1+x2)- =- .,变式2-1 求下列函数的导数： (1)y=x3+ ；(2)y=-sin ；(3)y=xe1-cos x.,解：(1),(2)y=-sin = sin x， y= = (sin x)= cos x. (3)y=(xe1-cos x)=e1-cos x+x(e1-cos x) =e1-cos x+xe1-cos x(1-cos x) =e1-cos x+xe1-cos xsin x =(1+xsin x)e1-cos x.,题型三导数的物理意义 【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在1,1+ t这段时间内的平均速度； (2)求质点在t=1的瞬
7、时速度,解：(1)质点在1,1+ t这段时间内的平均速度为 (2)方法一(定义法)： 由(1)得 =-3 t-6. 当 t趋于0时， 趋于定值-6. 质点在t=1时的瞬时速度为-6. 方法二(求导法)： 质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t，当t=1时，v=-6.,题型四导数的几何意义及在几何上的应用 【例4】已知曲线y= x3+ . (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程,解：(1)y=x2， 在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4. 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0. (2)设曲线y= x
8、3+ 与过点P(2,4)的切线相切于点A ，则切线的斜率k=y|x=x0=x02. 切线方程为y- = x02 (x-x0)， 即 点P(2,4)在切线上， 即 x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0， (x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=-1或x0=2， 所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.,变式4-1 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离,解：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则 y|x=x0= x=x0= =2，解得x0=1，所以y0=0， 即点P(1,0)， 点P到直线2x-y+3=0
9、的距离为 曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 .,易错警示,【例】函数y=2x2+3过点P(2,9)的切线方程为_ 错解由y=2x2+3，可得y=4x，故y|x=2=8，切线的斜率为8，切点为P(2,9)， 故切线方程为y-9=8(x-2)，即8x-y-7=0.,错解分析：切线所过定点并不一定是切点，即使此点在曲线上， 也有可能另有切点存在.,正解：设过点P的切线的切点为T(x0，y0)，则切线的斜率为4x0， 又kPT= ，故 =4x0， 所以2x02-8x0+6=0，解得x0=1或x0=3. 即切线PT的斜率为4或12， 所以过点P的切线为y=4x+1或y=12x-15.,链接高考,(2010全国改编)若曲线y=x- 在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=_. 知识准备：1. 知道曲线y=x- 在x=a处的切线方程的斜率是在此点处的导数，采用点斜式写出方程. 2. 要知道切线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两直角边长为截距的绝对值.,答案：64 解析：显然a0，y=- x- ， k=- a- ， 切线方程是y-a- =- a- (x-a)， 令x=0，y= a- ，令y=0，x=3a， 所以三角形的面积是S= 3a a- =18，解得a=64.,
