《第七节方向导数与梯度课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七节方向导数与梯度课件（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第八章 多元函数微分学,第七节,上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度,方向导数的定义与计算,梯度的概念与计算,上页 下页 返回 结束,1.讨论函数 z = f ( x , y )在一点P 沿某一方向的变化率,本节主题:,问题,2.函数在点 P 沿哪一方向增加的速度最快?,(方向导数),(梯度),上页 下页 返回 结束,内有定义，,的某一邻域,在点,设函数,点,且,为l 上的另一,设射线 l 的方向角为 , ,一、方向导数的定义与计算,过P 引射线 l (如图).,记,当 沿着 趋于 时，,反映的是 z = f (x, y)在点P 沿方向l 的变化率.,上页 下页 返回 结束,这个比值刻画的
2、是z = f (x, y) 沿方向l 的平,均变化率.,极限,记为,上页 下页 返回 结束,存在，则称此极限为函数在点P 沿方向l 的方向导数,如果极限,定义, 即,显然。fx表示的是函数z =f (x,y)在点P 沿 x 轴正向的方向导数， fy表示的是函数z =f (x,y)在点P 沿 y轴正向的方向导数.而函数z =f (x,y)在点P 沿 x 轴与y轴负向的方向导数分别是fx ， fy .,证明：,由于函数z =f (x,y)点P(x,y)可微，,上页 下页 返回 结束,定理,z =f (x,y)在该点沿任意方向l 的方向导数都存在，且,其中cos,cos是方向l 的方向余弦.,如果函
3、数z =f (x,y)在点P(x,y)可微，则,所以函数在点P(x,y)的增量,因此，方向导数,上页 下页 返回 结束,推广:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,且,若三元函数 u =f (x,y,z)在点P (x,y,z)可微,为l 的方向角.,上页 下页 返回 结束,其中,在点 P(1, 1, 1) 沿从点P(1, 1, 1),解：,上页 下页 返回 结束,到点Q (2, 3, 3)方向的方向导数。,本题的方向是,例1.求函数,解：,上页 下页 返回 结束,例2.求函数z = x y在点 处沿方向,的方向导数.且问为何值时，这点的方向导数达到最,大？ 为何值时，这点的方向导数达
4、到最小？,所以，,二、梯度的概念与计算,上页 下页 返回 结束,定义,设函数,在平面区域D内具有,一阶连续偏导数，,称向量,则对每一点,为函数z= f (x , y )在点P(x , y )的梯度,记为grad f (x , y).,grad f (x , y ),即：,上页 下页 返回 结束,为函数u =f (x,y,z)在点P (x,y,z)的梯度,记为grad f (x , y , z).,grad f (x , y , z ),即：,推广:,若三元函数 u =f (x,y,z)在空间区域G 内具有,一阶连续偏导数，则对每一点P (x,y,z) G,称向量,解:,由梯度计算公式得,故,上
5、页 下页 返回 结束,例3.求函数,在点(1,1,2),处的梯度.,上页 下页 返回 结束,梯度与方向导数的关系：,（以二元函数为例）,设函数z =f (x,y)在点P(x,y)可微，,是方向l 上的单位向量,则,其中,为梯度向量与方向l 的夹角.,有最大值,上页 下页 返回 结束,二元函数：,结论：,（1）函数在某点的梯度grad f 是一个向量，,grad f (x , y ),三元函数：,grad f (x , y , z ),（2）梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值,的方向.,（3）梯度的模等于方向导数的最大值.,内容小结,1. 方向导数, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,上页 下页 返回 结束, 三元函数,在点,处沿方向 l (方向角,的方向导数为,2. 梯度, 二元函数,在点,处的梯度为,上页 下页 返回 结束, 三元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在, 可微,偏导数存在,方向，且梯度的模等于方向导数的最大值.,梯度的方向是函数在此点的方向导数取得最大值的,
