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1、平面向量数量积运算 题型一平面向量数量积的基本运算 例 1 (1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD 120，点E，F分别在边BC， DC上，BC3BE，DC DF.若AE AF 1，则的值为 _. (2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA PB 的最小值 为( ) A.42 B.32 C.422 D. 322 变式训练1 (2015 湖北 )已知向量OA AB ，|OA | 3，则OA OB _. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 (1)(2015重庆)若非零向量a，b满足 |a| 22 3 |b| ，且(ab) (3a 2b)
2、，则a与b的夹 角为 ( ) A. 4 B. 2 C. 3 4 D. (2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 3，| a| 2，|b| 3，则 2ab与a2b的夹角的余 弦值等于 ( ) A. 1 26 B. 1 26 C. 1 12 D. 1 12 变式训练2 (2014 课标全国) 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO 1 2(AB AC )，则AB 与AC 的夹角为 _. 题型三利用数量积求向量的模 例 3 (1)已知平面向量a和b， |a| 1， |b| 2， 且a与b的夹角为120， 则|2ab| 等于 ( ) A.2 B.4 C.25 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中，ADB
3、C，ADC 90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点， 则|PA 3PB | 的最小值为 _. 变式训练3 (2015 浙江 )已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2 1 2.若平面向量 b满足be1 be21，则 |b| _. 高考题型精练 1.(2015山东)已知菱形ABCD的边长为a，ABC 60，则BD CD 等于 ( ) A. 3 2a 2 B. 3 4a 2 C. 3 4a 2 D. 3 2a 2 2.(2014浙江)记 maxx，y x，xy， y，xy， minx，y y，xy， x，xy， 设a，b为平面向量，则 ( ) A.min|ab| ，|ab| min|a| ，|b
4、| B.min|ab| ，|ab| min|a| ，|b| C.max|ab| 2，| ab| 2 | a| 2| b| 2 D.max|ab| 2，| ab| 2 | a| 2| b| 2 3.(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21 上运动，且ABBC.若点P的坐标为 (2,0)，则 |PA PB PC | 的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB 的垂线l，P为垂线上任一点，设OA a，OB b，OP p，则p(ba)等于 ( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 5
5、.在平面上，AB1 AB2 ，|OB1 | |OB2 | 1，AP AB1 AB2 .若|OP | 1 2 ，则 |OA | 的取值范围 是( ) A.(0， 5 2 B.( 5 2 ， 7 2 C.( 5 2 ，2 D.( 7 2 ，2 6.如图所示， ABC中，ACB 90且ACBC 4，点M满足BM 3MA ，则CM CB 等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014安徽)设a，b为非零向量， |b| 2|a| ，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均 由 2个a和 2个b排列而成 .若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a| 2
6、， 则a与b的夹角为 ( ) A. 2 3 B. 3 C. 6 D.0 8.(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，CP 3PD ，AP BP 2， 则AB AD 的值是 _. 9.设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且e1e2 3 2 ，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为 _. 10.如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，AB ，AC 60， 则|OA | _. 11.已知向量a(sin x， 3 4)， b(cos x， 1).当ab时，求 cos 2xsin 2x 的值； 12.在AB
7、C中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足AD 5 11DB . (1)求|AB AC | ； (2)存在实数t 1，使得向量xAB tAC ，ytAB AC ，令kxy，求k的最小值 . 平面向量数量积运算 题型一平面向量数量积的基本运算 例 1 (1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD 120，点E，F分别在边BC， DC上，BC3BE，DC DF.若AE AF 1，则的值为 _. (2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA PB 的最小值 为( ) A.42 B.32 C.422 D. 322 答案(1)2 (2)D
8、解析(1)如图， AE AF (AB BE ) (AD DF ) (AB 1 3 BC ) (AD 1 DC )AB AD 1 AB DC 1 3 BC AD 1 3 BC DC 2 2 cos 120 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 cos 1202 4 4 3 2 3 10 3 2 3， 又AE AF 1， 10 3 2 31， 2. (2)方法一设|PA | |PB | x，APB， 则 tan 2 1 x， 从而 cos 1tan2 2 1tan2 2 x21 x21. PA PB |PA | |PB | cos x2 x21 x21 x4x2 x21 x21 2 3 x2
9、12 x2 1 x21 2 x21 32 2 3， 当且仅当x212， 即x221 时取等号，故PA PB 的最小值为223. 方法二设APB，0， 则|PA | |PB | 1 tan 2 . PA PB |PA |PB |cos ( 1 tan 2 )2cos cos 2 2 sin2 2 (1 2sin 2 2) 1sin 2 2 12sin2 2 sin 2 2 . 令xsin 2 2 ，0x 1， 则PA PB 1x1 2x x 2x 1 x 32 23， 当且仅当2x 1 x，即 x 2 2 时取等号 . 故PA PB 的最小值为223. 方法三以O为坐标原点，建立平面直角坐标系x
10、Oy， 则圆O的方程为x2y2 1， 设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)， 则PA PB (x1x0，y1) (x1x0，y1)x212x1x0 x20y21. 由OAPA?OA PA (x1，y1) (x1x0，y1) 0 ?x 2 1x1x0y210， 又x21y211， 所以x1x01. 从而PA PB x212x1x0 x20y 2 1 x212x20(1x21) 2x21x20 32 23. 故PA PB 的最小值为223. 点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具 体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数
11、量积ab与代数中a，b的乘 积写法不同，不应该漏掉其中的“”. (2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab0 时得不到a0 或b0，根据平面向量数量积 的性质有 |a| 2a2，但 | ab| |a| |b|. 变式训练1 (2015 湖北 )已知向量OA AB ，|OA | 3，则OA OB _. 答案9 解析因为OA AB ，所以OA AB 0.所以OA OB OA (OA AB )OA 2OA AB |OA | 20329. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 (1)(2015重庆)若非零向量a，b满足 |a| 22 3 |b| ，且(ab) (3a 2b)，则a与b的夹 角为
12、 ( ) A. 4 B. 2 C. 3 4 D. (2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 3，| a| 2，|b| 3，则 2ab与a2b的夹角的余 弦值等于 ( ) A. 1 26 B. 1 26 C. 1 12 D. 1 12 答案(1)A (2)B 解析(1)由(ab) (3a2b)得(ab) (3a2b)0，即 3a 2ab 2b2 0.又|a| 22 3 |b| ， 设a，b， 即 3|a| 2| a| |b| cos 2|b| 20， 8 3| b| 22 2 3 |b| 2 cos 2|b| 20. cos 2 2 .又 0， 4. (2)记向量 2ab与a2b的夹角为， 又(
13、2ab)2 42 232 4 2 3 cos 313， (a2b)222 43 2 4 2 3 cos 352， (2ab) (a2b)2a 22b23a b 8189 1， 故 cos 2aba2b |2ab| |a2b| 1 26， 即 2ab与a 2b的夹角的余弦值是 1 26. 点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0 说明不共线 的两向量的夹角为锐角，数量积等于0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于0 且两向量不 能共线时两向量的夹角为钝角. 变式训练2 (2014 课标全国) 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO 1 2(AB AC )，则AB
14、与AC 的夹角为 _. 答案90 解析AO 1 2(AB AC )， 点O是ABC中边BC的中点， BC为直径，根据圆的几何性质得AB 与AC 的夹角为90. 题型三利用数量积求向量的模 例 3 (1)已知平面向量a和b， |a| 1， |b| 2， 且a与b的夹角为120， 则|2ab| 等于 ( ) A.2 B.4 C.25 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC 90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点， 则|PA 3PB | 的最小值为 _. 答案(1)A (2)5 解析(1)因为平面向量a和b，|a| 1，|b| 2，且a与b的夹角为120， 所以 |2ab| 2a
15、2 b2 2 |2a| |b|cos 120 2 21222 2 2 1 2 1 2 2. (2)方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标 系，设DCa，DPx. D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， PA (2，x)，PB (1，ax)， PA 3PB (5,3a4x)， |PA 3PB | 225(3a 4x)2 25， |PA 3PB | 的最小值为5. 方法二设DP xDC (0x1)， PC (1x)DC ， PA DA DP DA xDC ， PB PC CB (1x)DC 1 2DA ， PA 3PB 5 2DA (34x)DC ， |PA 3PB | 2 25 4 DA 2 25 2 (3 4x)DA DC (34x)2DC 22
