(最新)平面向量数量积运算专题(附答案解析)

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1、平面向量数量积运算 题型一平面向量数量积的基本运算 例 1 (1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2,BAD 120,点E,F分别在边BC, DC上,BC3BE,DC DF.若AE AF 1,则的值为 _. (2)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么PA PB 的最小值 为( ) A.42 B.32 C.422 D. 322 变式训练1 (2015 湖北 )已知向量OA AB ,|OA | 3,则OA OB _. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 (1)(2015重庆)若非零向量a,b满足 |a| 22 3 |b| ,且(ab) (3a 2b)

2、,则a与b的夹 角为 ( ) A. 4 B. 2 C. 3 4 D. (2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 3,| a| 2,|b| 3,则 2ab与a2b的夹角的余 弦值等于 ( ) A. 1 26 B. 1 26 C. 1 12 D. 1 12 变式训练2 (2014 课标全国) 已知A,B,C为圆O上的三点,若AO 1 2(AB AC ),则AB 与AC 的夹角为 _. 题型三利用数量积求向量的模 例 3 (1)已知平面向量a和b, |a| 1, |b| 2, 且a与b的夹角为120, 则|2ab| 等于 ( ) A.2 B.4 C.25 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中,ADB

3、C,ADC 90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点, 则|PA 3PB | 的最小值为 _. 变式训练3 (2015 浙江 )已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2 1 2.若平面向量 b满足be1 be21,则 |b| _. 高考题型精练 1.(2015山东)已知菱形ABCD的边长为a,ABC 60,则BD CD 等于 ( ) A. 3 2a 2 B. 3 4a 2 C. 3 4a 2 D. 3 2a 2 2.(2014浙江)记 maxx,y x,xy, y,xy, minx,y y,xy, x,xy, 设a,b为平面向量,则 ( ) A.min|ab| ,|ab| min|a| ,|b

4、| B.min|ab| ,|ab| min|a| ,|b| C.max|ab| 2,| ab| 2 | a| 2| b| 2 D.max|ab| 2,| ab| 2 | a| 2| b| 2 3.(2015湖南)已知点A,B,C在圆x2y21 上运动,且ABBC.若点P的坐标为 (2,0),则 |PA PB PC | 的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.如图,在等腰直角ABO中,OAOB1,C为AB上靠近点A的四等分点,过C作AB 的垂线l,P为垂线上任一点,设OA a,OB b,OP p,则p(ba)等于 ( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 5

5、.在平面上,AB1 AB2 ,|OB1 | |OB2 | 1,AP AB1 AB2 .若|OP | 1 2 ,则 |OA | 的取值范围 是( ) A.(0, 5 2 B.( 5 2 , 7 2 C.( 5 2 ,2 D.( 7 2 ,2 6.如图所示, ABC中,ACB 90且ACBC 4,点M满足BM 3MA ,则CM CB 等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014安徽)设a,b为非零向量, |b| 2|a| ,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均 由 2个a和 2个b排列而成 .若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a| 2

6、, 则a与b的夹角为 ( ) A. 2 3 B. 3 C. 6 D.0 8.(2014江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB8,AD5,CP 3PD ,AP BP 2, 则AB AD 的值是 _. 9.设非零向量a,b的夹角为,记f(a,b)acos bsin .若e1,e2均为单位向量,且e1e2 3 2 ,则向量f(e1,e2)与f(e2,e1)的夹角为 _. 10.如图,在ABC中,O为BC中点,若AB1,AC3,AB ,AC 60, 则|OA | _. 11.已知向量a(sin x, 3 4), b(cos x, 1).当ab时,求 cos 2xsin 2x 的值; 12.在AB

7、C中,AC10,过顶点C作AB的垂线,垂足为D,AD5,且满足AD 5 11DB . (1)求|AB AC | ; (2)存在实数t 1,使得向量xAB tAC ,ytAB AC ,令kxy,求k的最小值 . 平面向量数量积运算 题型一平面向量数量积的基本运算 例 1 (1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2,BAD 120,点E,F分别在边BC, DC上,BC3BE,DC DF.若AE AF 1,则的值为 _. (2)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为切点,那么PA PB 的最小值 为( ) A.42 B.32 C.422 D. 322 答案(1)2 (2)D

8、解析(1)如图, AE AF (AB BE ) (AD DF ) (AB 1 3 BC ) (AD 1 DC )AB AD 1 AB DC 1 3 BC AD 1 3 BC DC 2 2 cos 120 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 cos 1202 4 4 3 2 3 10 3 2 3, 又AE AF 1, 10 3 2 31, 2. (2)方法一设|PA | |PB | x,APB, 则 tan 2 1 x, 从而 cos 1tan2 2 1tan2 2 x21 x21. PA PB |PA | |PB | cos x2 x21 x21 x4x2 x21 x21 2 3 x2

9、12 x2 1 x21 2 x21 32 2 3, 当且仅当x212, 即x221 时取等号,故PA PB 的最小值为223. 方法二设APB,0, 则|PA | |PB | 1 tan 2 . PA PB |PA |PB |cos ( 1 tan 2 )2cos cos 2 2 sin2 2 (1 2sin 2 2) 1sin 2 2 12sin2 2 sin 2 2 . 令xsin 2 2 ,0x 1, 则PA PB 1x1 2x x 2x 1 x 32 23, 当且仅当2x 1 x,即 x 2 2 时取等号 . 故PA PB 的最小值为223. 方法三以O为坐标原点,建立平面直角坐标系x

10、Oy, 则圆O的方程为x2y2 1, 设A(x1,y1),B(x1,y1),P(x0,0), 则PA PB (x1x0,y1) (x1x0,y1)x212x1x0 x20y21. 由OAPA?OA PA (x1,y1) (x1x0,y1) 0 ?x 2 1x1x0y210, 又x21y211, 所以x1x01. 从而PA PB x212x1x0 x20y 2 1 x212x20(1x21) 2x21x20 32 23. 故PA PB 的最小值为223. 点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式:一是依据长度和夹角,二是利用坐标运算,具 体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a,b的数

11、量积ab与代数中a,b的乘 积写法不同,不应该漏掉其中的“”. (2)向量的数量积运算需要注意的问题:ab0 时得不到a0 或b0,根据平面向量数量积 的性质有 |a| 2a2,但 | ab| |a| |b|. 变式训练1 (2015 湖北 )已知向量OA AB ,|OA | 3,则OA OB _. 答案9 解析因为OA AB ,所以OA AB 0.所以OA OB OA (OA AB )OA 2OA AB |OA | 20329. 题型二利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 (1)(2015重庆)若非零向量a,b满足 |a| 22 3 |b| ,且(ab) (3a 2b),则a与b的夹 角为

12、 ( ) A. 4 B. 2 C. 3 4 D. (2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 3,| a| 2,|b| 3,则 2ab与a2b的夹角的余 弦值等于 ( ) A. 1 26 B. 1 26 C. 1 12 D. 1 12 答案(1)A (2)B 解析(1)由(ab) (3a2b)得(ab) (3a2b)0,即 3a 2ab 2b2 0.又|a| 22 3 |b| , 设a,b, 即 3|a| 2| a| |b| cos 2|b| 20, 8 3| b| 22 2 3 |b| 2 cos 2|b| 20. cos 2 2 .又 0, 4. (2)记向量 2ab与a2b的夹角为, 又(

13、2ab)2 42 232 4 2 3 cos 313, (a2b)222 43 2 4 2 3 cos 352, (2ab) (a2b)2a 22b23a b 8189 1, 故 cos 2aba2b |2ab| |a2b| 1 26, 即 2ab与a 2b的夹角的余弦值是 1 26. 点评求向量的夹角时要注意:(1)向量的数量积不满足结合律,(2)数量积大于0 说明不共线 的两向量的夹角为锐角,数量积等于0 说明两向量的夹角为直角,数量积小于0 且两向量不 能共线时两向量的夹角为钝角. 变式训练2 (2014 课标全国) 已知A,B,C为圆O上的三点,若AO 1 2(AB AC ),则AB

14、与AC 的夹角为 _. 答案90 解析AO 1 2(AB AC ), 点O是ABC中边BC的中点, BC为直径,根据圆的几何性质得AB 与AC 的夹角为90. 题型三利用数量积求向量的模 例 3 (1)已知平面向量a和b, |a| 1, |b| 2, 且a与b的夹角为120, 则|2ab| 等于 ( ) A.2 B.4 C.25 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC 90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点, 则|PA 3PB | 的最小值为 _. 答案(1)A (2)5 解析(1)因为平面向量a和b,|a| 1,|b| 2,且a与b的夹角为120, 所以 |2ab| 2a

15、2 b2 2 |2a| |b|cos 120 2 21222 2 2 1 2 1 2 2. (2)方法一以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标 系,设DCa,DPx. D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), PA (2,x),PB (1,ax), PA 3PB (5,3a4x), |PA 3PB | 225(3a 4x)2 25, |PA 3PB | 的最小值为5. 方法二设DP xDC (0x1), PC (1x)DC , PA DA DP DA xDC , PB PC CB (1x)DC 1 2DA , PA 3PB 5 2DA (34x)DC , |PA 3PB | 2 25 4 DA 2 25 2 (3 4x)DA DC (34x)2DC 22

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