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1、1 / 53 2018 年高考数学考纲与考试说明解读 专题一：函数、极限与导数的综合问题 （一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议 类别年份全国全国全国 函 数 导 数 （ 文 ） 2017 9.函数的单调性，对称 性（中心对称， 线对称）8.复合函数的单调性 7.函数图像的判定 14.曲线的切线方程14.函数的奇偶性12.函数的零点综合 21.导数，讨论单调性， 恒成立问题 21. 导 数 单 调 性 恒成立问题 16.分段函数解不等式 21.导数单调性构造函数证明不等式 2016 8.指对数的大小比较10.函数的定义域值域7.指对数的大小比较 9.函数图像的判定12.函数的对称性16
2、.函数的奇偶性与导数关系（切线问题） 12. 函数单调性研究参 数取值范围 21.导数 切线方程 恒成立问题 21.导数单调性证明不等式 21.导数单调性（定义 域）双零点的参数范 围， 2 / 53 全国课标卷考查内容分析（考什么） （一）结论： 考查的核心知识为:函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用 函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）; 函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性; 函数的图象：包含显性与隐性； 导数的应用：导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值 与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围 （二）试题题型结构：全
3、国卷基本上是2 道选择题或填空题、1 道解答题，共3 道题 .分值 为 22 分 （三）试题难度定位：全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一 道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题”进行考查；解答题均放置于“压轴” 位置 小题考点可总结为八类： （1）分段函数；（2）函数的性质； （3）基本函数；（4）函数图像； （5）方程的根（函数的零点）； （6）函数的最值； （7）导数及其应用；（8）定积分。 解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度，往往放在解 答题的后面两道题中的一个纵观近几年全国新课标高考题，常见的考点可分为六个方面： （1）变量的取
4、值范围问题；（2）证明不等式的问题； （3）方程的根（函数的零点）问题；（4）函数的最值与极值问题； （5）导数的几何意义问题；（ 6）存在性问题。 类别年份 21.导数，双零点的参数范围，极值点偏移 （函数构造） 21.导数 单调性（定义域） 虚设零点的最值问题 7.函数图像的判断12.函数的图像与性质（对称中心）6.指对数的大小比较 8.指对数的大小比较16.导数公切线问题15.函数的奇偶性与导数关系（切线问题） 全国 全国 全国 函数导数 （理） 2017 5.抽象函数的单调性，奇偶性，解不等式11.函数的极值11.函数的零点 11.指对数互化（大小比较） 21.导数 恒成立求参数范围
5、虚设零点证明不等式 15.分段函数解不等式 21.导数，讨论单调性（超越不等式），双 零点条件下的参数取值范围 21.导数 恒成立求参数范围 数列与不等式综合（放缩法） 21.导数（三角函数，复合函数的导数，二次 函数，含绝对值的最值问题） 2016 3 / 53 考点： 题型 1 函数的概念 例 1 有以下判断： f(x) | x| x 与g(x) 1 x0 1 x0 表示同一函数； 函数yf(x) 的图象与直线x1 的交点最多有1 个； f(x) x 22x 1 与 g(t) t 2 2t 1 是同一函数； 若f(x) |x1| |x| ，则f f 1 2 0. 其中正确判断的序号是_.
6、题型 2 函数的概念、性质、图象和零点（2017 年全国新课标卷理科第8 题） 例 2 、已知函数 211 2 xx fxxxa ee有唯一零点，则a= A. 1 2 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 C 【解析】函数fx的零点满足 211 2ee xx xxa， 设 11 ee xx g x，则 21 111 11 1e1 eee ee x xxx xx gx， 当0gx时，1x；当1x时，0gx，函数g x单调递减； 当1x时，0gx，函数g x单调递增，当1x时，函数g x取得最小值，为 12g. 设 2 2h xxx，当1x时，函数h x取得最小值，为 1，若0a， 函数h x与函
7、数ag x没有交点；若0a，当11agh时，函数h x和 ag x有一个交点，即21a，解得 1 2 a.故选 C. 例 3、（2012 理科） （10） 已知函数 1 ( ) ln(1) f x xx ；则( )yf x 4 / 53 的图像大致为（）B （1）定义域（2）奇偶性（3）对称性 （4）单调性（求导）（5）周期性 （6）特征点（7）变化趋势 1. 考查角度 (1) 以指、对、幂函数为载体考查函数的单调性、奇偶性等性质; (2) 考查分段函数的求值以及指数、对数的运算; (3) 函数图象的考查主要是函数图象的识别及应用; (4) 高考一般不单独考查函数零点的个数以及函数零点所在区间
8、, 有时在导数中考查函数 的零点问题 ; (5) 函数与方程的考查既可以是结合函数零点存在性定理或函数图象判断零点的存在性, 也可以是利用函数零点的存在性求参数的值、范围或判断零点所在区间. 2. 题型及难易度 选择题或填空题. 难度 : 中等或偏上 . 2 求函数定义域常见结论：(1) 分式的分母不为零； (2) 偶次根式的被开方数不小于零；(3) 对数函数的真数必须大于零； (4) 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； 1 ,ln(1)ytxx t 1 1 11 x t xx (1)0, 31 ()0 3 4 ln 4 4 f f 5 / 53 (5) 正切函数ytan x，xk (
9、kZ) ； (6) 零次幂的底数不能为零； (7) 实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求. 题型 3、函数、方程、不等式及导数的综合应用 例3（ 2013理科）若函数=的图像关于直线 2x对称，则的最大值是 _ _. 16 16)5()(, 910) 3(16)( )3(16) 34)(34()2( max 22 22222 gtgtttttg xxxxxxxf法二： 知识点：函数的奇偶性、对称性和导数的应用 数学思想：考查转化、数形结合体现了多角度、多维度、多层次 题型 4 函数、方程、不等式及导数的综合应用 例 4、已知函数( )f x =x 1alnx （1）
10、若 ( )0f x ，求 a 的值； （2）设 m为整数，且对于任意正整数n， 2 111 1+1+) 222 n K()(1)(m ，求 m的最小值 解： （1）fx的定义域为0， +. 若0a，因为 11 =-+20 22 faln，所以不满足 题意；若0a， 由1 axa f x xx 知，当0 x,a时，0f x； 当， +xa 时，0f x，所以fx在0,a单调递减，在， +a单调递增，故x=a 是fx在 0， +x的唯一最小值点. 由于10f，所以当且仅当a=1 时，0fx. 故 a=1 （2）由（ 1）知当1， +x时，10 xln x ( 1)( 3)8 (1)( 5)15 f
11、fa ffb 法一：导数求最值问题 6 / 53 令 1 =1+2 n x得 11 1+ 22 nn ln，从而 22 1111111 1+1+1+=1-1 2222222 nnn lnlnln 故 2 111 1+1+1+ 222 n e 而 23 111 1+1+1+2 222 ，所以 m的最小值为3. （6）复习重点 函数作为几大主干知识之一，其主体知识包括 1 个工具：导数研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式； 1 个定理：零点存在性定理； 1个关系：函数的零点是方程的根； 2 个变换：图象的平移变换和伸缩变换； 2 大种类： 基本初等代数函数( 正比例函数、 反比例函数、 一次函
12、数、 二次函数、 三次函数、 指数函数、对数函数、幂函数) 和基本初等函数的复合函数( 对勾函数、双曲函数、分段函 数和其它函数) ； 2 个最值：可行域背景下的二元函数最值和均值不等式背景下的一元函数最值; 2 个意义：导数的几何意义和定积分的几何意义； 3 个要素：定义域、值域、解析式； 3 个二次：二次函数、二次方程、二次不等式； 5 个性质：单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、对称性. 关注二阶导数在研究函数中的拓展应用 虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研 究函数的性质的试题比比皆是因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，但要注 意过程性
13、的学习，而不是定理的记忆 7 / 53 当a 1时，恒有h x00h，从而 h x 是增函数， 00h ， 0h x 在0,恒成立 当a 1p 时，h x 在 0,是增函数， 0 0 =a 1 0,0, 使pfhx 0 x0h，所用当 0 x0,0时pxh x，从而 h x 是减函数， 00h ，0h x，所以 0h x 在0,不恒成立 故 1a 即为所求. 全国（ 2）卷文设函数f(x)=(1-x2)ex. （1）讨论 f(x)的单调性； （2）当 x0 时，f(x)ax+1，求 a的取值范围 . （2）0 x时，1f xax， 2 11 x xeax 2 10 xx x eeax，令 2
14、1 xx h xx eeax， 即0,x时，0h x，而00h 再令 2 2 xxx xhxx exee a ， 2 41 x xxxe 0 x时，0 x恒成立 . hx 在 0,是增函数 8 / 53 （理 21）已知函数 2 lnfxaxaxxx，且0fx。 （1）求a的值； （2）证明：fx存在唯一的极大值点 0 x，且 22 0 2efx. 参考解法： （1）( )f x的定义域为(0,) 设( )lng xaxax，则( )( ),( )0f xxg xf x等价于( )0g x 因为(1)0,( )0gg x，故(1)0g，而 1 ( ),(1)1gxaga x ，得1a 若1a，
15、则 1 ( )1gx x 当01x时，( )0,( )gxg x单调递减； 当1x时，( )0,( )gxg x单调递增 所以1x是( )g x的极小值点，故( )(1)0g xg，综上，1a 9 / 53 且当 0 0,xx 时， 0 x ；当 0,1 xx 时， 0 x ； 当 1,x 时， 0 x . 又 fxx ，所以 0 xx 是 ( )f x 的唯一极大值点.且 0000)(1ln)xxxf （x 由 0 0fx 得 00 ln21xx ，故 000 1f xxx . 由 0 0,1x 得 0 1 4 fx . 因为 0 xx 是 ( )f x 在 0,1 的唯一极大值点，由 1
16、0,1e ， 1 0f e 得 12 0 f xf ee 所以 22 0 ()2ef x . 10 / 53 （2016年卷理 21） （本小题满分12分） （）讨论函数 2 ( )e 2 x x f x x 的单调性， 并证明当0 x时，(2)e20 x xx； （）证明：当0,1)a时，函数 2 e ( )=(0) x axa g xx x 有最小值设( )g x的最 小值为( )h a，求函数( )h a的值域 解： （）略 （） 【零点分布和运用极值点满足等式】 33 (2)e(2)(2) ( )( ) x xa xx gxf xa xx 由 （ ） 知 ，( )f xa单 调 递 增 ， 对 任 意0,1)a，(0)10faa， (2)0faa因此存在唯一0 (0,2x，使得 0 ()0f xa，即 0 ()0g x 当 0 0 xx， 0 ()0f xa， 0 ()0g x，( )g x单调
