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1、1 1-3 求指数函数( )(0,0) at x tAeat的频谱。 (2) 22 022 0 (2) ()( ) (2)2(2) ajft jf tatjf teAA ajf Xfx t edtAeedtA ajfajfaf 22 ( ) (2) k X f af Im()2 ()arctanarctan Re() Xff f Xfa 1-5 求被截断的余弦函数 0 cost(见图 1-26) 的傅里叶变换。 0 cos ( ) 0 ttT x t tT 解： 0 ( )( )cos(2)x tw tf t()2sinc(2)W fTTf 00 22 0 1 cos(2) 2 jf tjf
2、t f tee所以 00 22 11 ( )( )( ) 22 jf tjf t x tw t ew t e 根据频移特性和叠加性得： 00 00 11 ()()() 22 sinc2()sinc2() XfW ffWff TT ffTTff 可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度 减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 1-6 求指数衰减信号 0 ( )sin at x tet的频谱 解 : 00 0 1 sin() 2 jtjt tee j , 所以 00 1 ( ) 2 jtjtat x teee j 单边指数衰减信
3、号 1( ) (0,0) at x teat的频谱密度函数为 1122 0 1 ()( ) jtatjtaj Xfx tedteedt aja 根据频移特性和叠加性得： 00 1010 2222 00 222 000 22222222 0000 ()()11 ( )()() 22()() ()2 () () () () ajaj XXX jjaa aa j aaaa 2 1-7 设有一时间函数f(t) 及其频谱如图1-27 所示。现乘以余弦型振荡 00 cos() m t 。在这个 关系中，函数f(t) 叫做调制信号，余弦振荡 0cost叫做载波。试求调幅信号0( )cosf tt的傅里叶 变
4、换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 0m 时将会出现什么情况？ 解： 0 ( )( )cos()x tf tt ()( )Ff tF 00 0 1 cos() 2 jtjt tee所以 00 11 ( )( )( ) 22 jtjt x tf t ef t e 根据频移特性和叠加性得： 00 11 ( )()() 22 X fFF 可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频0，同时谱线 高度减小一半。 若 0m 将发生混叠。 2-2 用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s、2s 和 5s 的正弦信号，问稳态 响应幅值误差将是多少？ 解：设一阶系统
5、1 ( ) 1 H s s ， 1 () 1 H j 2 2 11 ( )() 2 1() 1() AH T ，T是输入的正弦信号的周期 稳态响应相对幅值误差1 100%A，将已知周期代入得 58.6%1s 32.7%2s 8.5%5s T T T 2-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t- 45 ) 通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装 置后得到的稳态响应。 解： 1 () 10.005 H j ， 2 1 ( ) 1(0.005 ) A ，()arctan(0.005) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y(t) ，根据线性定常系统的频率保持
6、性、比例性和叠 加性得到y(t)=y01cos(10t+ 1)+y02cos(100t-45 +2) 其中 0101 2 1 (10)0.50.499 1 (0.005 10) yAx ， 1 (10)arctan(0.00510)2.86 0202 2 1 (100)0.20.179 1(0.005 100) yAx 3 2 (100)arctan(0.005 100)26.57 所以稳态响应为( )0.499cos(102.86 )0.179cos(10071.57 )y ttt 2-5 想用一个一阶系统做100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5% 以内，那么时间常 数应取多少？
7、若用该系统测量50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解：设该一阶系统的频响函数为 1 () 1 H j ，是时间常数 则 2 1 ( ) 1 () A 稳态响应相对幅值误差 2 1 ( )1 100%1100% 1(2) A f 令 5% ，f=100Hz，解得523 s。 如果f=50Hz，则相对幅值误差： 262 11 1100%1100%1.3% 1(2)1 (2523 1050)f 相角差： 6 ()arctan(2)arctan(25231050)9.33f 2-7 将信号cost输入一个传递函数为H(s)=1/(s+1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在 内的输出y(t)的表达式。 解答：令x(t)=cost，则 22 ( ) s X s s ，所以 22 1 ( )( )( ) 1 s Y sH s X s ss 利用部分分式法可得到 2 111111 ( ) 1 1()2(1)2(1) Y s jsjjsj s 利用逆拉普拉斯变换得到 1 2 22 / 2 2/ 2 111 ( ) ( ) 1()2(1)2(1) 1() 1()21() 1 cossin 1() 1 1() cos(arctan) 1() t jtjt tj tjtjtjt t t y tY seee jj eejee e tte te L
