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1、3 平面曲线的弧长与曲率,本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计,算公式.,一、平面曲线的弧长,定义2 设平面曲线 C 由参数方程,于是,证,因此,由第一章1习题 6 可知,于是,即,从而,因此当 f 在 a, b 上连续可微时,示,则 C 又可看作,注1 若曲线 C 由直角坐标方程,表示,则 C 亦可看作,注2 若曲线 C 由极坐标方程,由于,解,例1,例 2,解,解,段弧长.,例3,4 旋转曲面的面积,定积分的所有应用问题, 都可按 “分,用以导出旋转曲面面积的计算公式.,“微元法”来处理. 本节将介绍微元法,并,量的积分形式, 但在实际应用中又常用,割、近似、求极限” 三个步骤导出
2、所求,这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面(如下图).,设平面光滑曲线 C 的方程为,通过 x 轴上点 x 与 分别作垂直于 x 轴的平,时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面积, 即,面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带. 当很小,因此由的连续性可以保证,所以得到,如果光滑曲线由参数方程,曲面的面积为,椭球面的面积.,解 将上半椭圆写成参数方程,令,面的面积.,当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,解 将曲线用参数方程表示:,于是,请读者自行指出这应该怎么做？,*6 定积分的近似计算,利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以精确计,近似计算方法.,数能够求出的情形.我们这里介绍定积分的,算定积分的
3、值,但它仅适合被积函数的原函,根据定积分的定义,在几何意义上,这是用一系列小矩形来近似小曲边,两种方法.,法.矩形法的精度较差，通常使用下面着重介绍的,梯形面积的结果,所以把这个近似计算法称为矩形,一、梯形法,将积分区间,相应的被积函数值记为,曲线 上相应的点记为,将曲线上每一段 这使每个小,于是,整个曲边梯形面积的近似值为,即,曲边梯形换成了梯形,其面积为,以上近似式称为定积分的梯形法公式.,二、抛物线法,由梯形法求定积分的近似值, 当 为凸曲,线时偏大, 为凹曲线时偏小. 用抛物线法可克服上 述缺点.,将积分区间 分点为:,相应的被积函数值记为,曲线 上相应的点记为,将得到,最后得到,即,这就是抛物线公式，亦称为辛普森公式.,例 计算 的近似值.,解 将区间 十等分，各分点上被积函数的值列,表如下：,(1) 用矩形法公式,(2) 用梯形法,(3) 用抛物线法,与精确值,相比较，矩形法只有一位有效数字是准确的; 梯,位有效数字是准确的.,形法有三位有效数字是准确的;后而抛物线法有六,
