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1、第一节 微分方程的基本概念,内容提要 1. 微分方程的定义 ； 2. 微分方程的阶； 3. 微分方程的解（通解和特解）； 4. 微分方程的初始条件和初值问题。,教学要求 理解和掌握基本概念，特别是通解和特解的定义,解,一、两个实例,例1 一曲线通过点(1,2),处的切线的斜率为,求这曲线的方程.,且在该曲线上任一点,解,例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度,（1）开始制动后多少时间列车才能停住？,问,米/秒2,（2）在这段时间内列车行驶了多少路程？,所以，开始制动到列车完全停住共需,令,=0,得,50（秒）.,故,将（3）代入条件（4）得,将（2）代入条件（5
2、）得,在这段时间内列车行驶了500（米）.,1.定义 凡含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做 微分方程（方程）.,例如,微分方程的实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的导数(或微分)之间的关系式.,都是微分方程。,注意：微分方程中必需含有未知函数的导（或微分）,二、微分方程的定义,一,（1）微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为,2. 微分方程分类1：,微分方程中的未知函数只含一个自变量,这样的微分方程称为,例如,和,是 阶微分方程.,是 阶微分方程.,?,二,?,常微分方程。,微分方程的阶.,常微分方程; 偏微分方程.,否则，称为偏微分方程。,3. 微分方程中的几
3、个概念：,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,这个函数就称这个微分,解的分类：,且任意,微分方程的解有两种形式,（2）微分方程的解：,通解:,如：,如果将一个函数代入微分方,程能使方程成为恒等式 ,方程的解.,微分方程的解中含有任意常数C,常数的个数与微分方程的阶数相同.,不含任意常数C的解.,特解:,特解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,这就是微分方程的几何意义.,用来确定通解中任意常数的条件.,（如例1，例2）,（3）初始条件:,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,例3,右边=,所求特解为,例4,解,(特解?),(通解.),(1),(2),思考：,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,小 结,思考：,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,的什么解?,
