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1、第四章,连续系统的频域分析,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,引言,时域分析中，将任意信号分解成冲激函数的加权积分； 变换域分析中，将任意信号分解成虚指数函数的加权积分； 将任意信号表示为不同频率正弦分量的线性组合称为信号的频谱分析； 用频谱分析的观点来分析
2、系统称为系统的频域分析法或傅里叶变换分析法。,引言,第四章 连续系统的频域分析,时域分析，以冲激函数为基本信号，任意 输入信号可分解为一系列冲激函数；从而系统 的零状态响应为：yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejt为基本 信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率 的正弦信号或虚指数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是频率。 故称为频域分析。,第四章 连续系统的频域分析,4.1 信号分解为正交函数,一、矢量正交与正交分解,矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即,由两两正交的矢量组
3、成的矢量集合-称为正交矢量集。,4.1 信号分解为正交函数,如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。,例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以 用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合 表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间， 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号， 使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。,4.1 信号分解为正交函数,二、信号正交与正交函数集,1. 定义：,定义在(t1，t2)区间的两个函数 1(t)和 2
4、(t),若满足,即两函数的内积为0,则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。,4.1 信号分解为正交函数,2. 正交函数集：,若n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足,则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。,4.1 信号分解为正交函数,3. 完备正交函数集：,如果在正交函数集1(t)， 2(t)， n(t)之外， 不存在函数(t)( )满足,则称此函数集为完备正交函数集。,( i =1，2，n),4.1 信号分解为正交函数,三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和 虚指数函数集ejnt，n=
5、0，1，2，是否为 区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集？,思考：,4.1 信号分解为正交函数,三、信号的正交分解,设有n个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t) C11+ C22+ Cnn,如何选择各系数 Cj 使f(t)与近似函数之间的误差在区间(t1，t2)内为最小？,通常使误差的均方值(称为均方误差)最小。,4.1 信号分解为正交函数,均方误差为：,为使上式最小，,展开上式中的被积函数，注意到由序号不同的 正交函数相乘的各项，其积分均为零，而且所有不 包含Ci
6、的各项对Ci求导也等于零。 这样，上式中只有两项不为0，写为,4.1 信号分解为正交函数,即,求得,最终求得最小均方误差为：,4.1 信号分解为正交函数,在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有,上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式， 表明：在区间(t1,t2) 信号f(t)所含能量恒等于f(t)在完备 正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。,函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和。,4.2 傅里叶级数,4.2 傅里叶级数,由上节可知，周期信号 f(t) 在区间(t0，t0+T)可以 展开成在完备正交信号空
7、间中的无穷级数。,如果完备的正交函数集是三角函数集，则周期信号 所展开的无穷级数就称为“三角型傅里叶级数”。,如果完备的正交函数集是指数函数集，则周期信号 所展开的无穷级数就称为“指数型傅里叶级数”。,“三角型傅里叶级数”和“指数型傅里叶级数”统称为 傅里叶级数。,4.2 傅里叶级数,一、傅里叶级数的三角形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数 。,系数an , bn称为傅里叶系数。,4.2 傅里叶级数,bn是n的奇函数。,an 是n的偶函数，,整理得,A0 = a0,An是n的偶函数，
8、n是n的奇函数。,4.2 傅里叶级数,上式表明： 周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中， A0/2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与 原周期信号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。,4.2 傅里叶级数,例1、将下图所示的方波信号f(t)展开为傅里叶级数。,4.2 傅里叶级数,二、波形的对称性与谐波特性,1、若f(t)为偶函数，即,波形相对于纵坐标轴对称。,被积函数为偶函数,被积函数为奇函数,4.2 傅里叶级数,2 .若f(t)为奇函数，即,波形相对于原点对称。,被积函数为奇函数,
9、被积函数为偶函数,4.2 傅里叶级数,实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 即 f(t) = fod(t) + fev(t) = 奇函数+偶函数 由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t),3 .f(t)为奇谐函数,此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0,函数f(t)的前半周期波形移动T/2后，与后半周期波形 相对于横轴对称，即满足f(t) = f(tT/2),4.2 傅里叶级数,三、傅里叶级数的指数形式,三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式
10、的傅里叶级数。 可从三角形式推出：利用,4.2 傅里叶级数,令A0=A0ej0ej0t ，0=0,上式中第三项的n用n代换，,令复数,称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。,4.2 傅里叶级数,n = 0, 1, 2，,表明：任意周期信号 f(t) 可分解为许多不同频率的 虚指数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。,4.2 傅里叶级数,例2、周期锯齿波信号如下图所示，求该信号的指数 形式傅里叶级数。,4.2 傅里叶级数,四、周期信号的功率Parseval等式,直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n0时， |Fn| = An/2。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为:,4.3
11、 周期信号的频谱,4.3 周期信号的频谱及特点,一、信号频谱的概念,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。,4.3 周期信号的频谱,周期信号的频谱： 是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化 关系，即 将 An和 n 的关系分别画在以为 横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图 和相位频谱图。 因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|和n的关系，称为双边谱。 若Fn为实数，也可直接画Fn 。,4.3 周期信号的频谱,例1：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图，并求f(t)
12、的平均功率。,解： 首先应用三角公式改写 f(t) 的表达式，,4.3 周期信号的频谱,故f(t)的周期T = 24，基波角频率=2/T = /12 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 :,的周期T1 = 8,的周期T2 = 6,显然1是该信号的直流分量。,4.3 周期信号的频谱,是f(t)的/4/12 =3次谐波分量；,是f(t)的/3/12 =4次谐波分量；,画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图：,4.3 周期信号的频谱,二、周期信号频谱的特点,例2：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其 周期为T，如右图，求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）,4.3 周期信号的频谱
13、, n = 0 ,1，2，,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。,求各零点：,即各零点依次为：,4.3 周期信号的频谱,特点： (1) 周期信号的频谱具有谐波(离散)性。 各条谱线位置是基波频率的整数倍； (2)一般具有收敛性。总趋势减小。,n=2,n=3,n=0,n=4,n=1,4.3 周期信号的频谱,谱线的结构与波形参数的关系：,若T一定，变小，此时 （谱线间隔）不变。 两零点之间的谱线数目（2/）/(2/T)=T/ 增多。 (b)若 一定，T增大，间隔减小，频谱变密。,如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到 非周期
14、信号的连续频谱。 各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,4.4 傅里叶变换,4.4 非周期信号的频谱傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号 f(t) 可看成是周期T时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。 各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些 无穷小量之间仍有差别。,4.4 傅里叶变换,为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。令,(单位频率上的频谱）,称F( j)为频谱密度函数。,根据傅里叶级数,考虑到：T，无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量）,4.4 傅里叶变换,同时， ,于是，,傅里叶变换式,傅里叶反变换式,
15、F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,4.4 傅里叶变换,也可简记为,F(j)一般是复函数，写为: F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX(),说明 : (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数 f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分:,4.4 傅里叶变换,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数 f(t) = et(t)， 0实数,4.4 傅里叶变换,2. 双边指数函数 f(t) = et , 0,4.4 傅里叶变换,3. 门函数(矩形脉冲),4.4 傅里叶
16、变换,4. 冲激函数(t)、(t),4.4 傅里叶变换,5. 常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列fn(t)逼近f (t) ，即,而fn(t)满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F (j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,4.4 傅里叶变换,所以,构造,4.4 傅里叶变换,另一种求法： (t)1代入反变换定义式，有,将t，t-,再根据傅里叶变换定义式，得,6. 符号函数,4.4 傅里叶变换,4.4 傅里叶变换,7. 阶跃函数 (t),4.4 傅里叶变换,归纳记忆：,1. 傅里叶变换对,4.4 傅里叶变换,2. 常用函数傅里叶变换对：,g(t),sgn (t),1,1,4.5 傅里叶变换的性质,4.5
