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1、第三节 函数的极限,一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结与思考判断题,一、函数极限的定义,本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形：,1.自变量趋于有限值时函数的极限,考虑自变量 趋近于有限值 ，记这一变化过程为,仿照数列极限的定义，给出 时函数的极限的定义.,例1 证明,证 因为 为使对于任意给定的正数 ，有 只要 ,所以对任意 ，可取 ， 则当 适合不等式
2、时，对应的函数 值 就满足不等式 所以,证,例4,讨论单侧极限,函数值无限接近于2.,函数值无限接近于2.,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例6,证,结论：,2.自变量趋于无穷大时函数的极限,自变量 表示 及 ， 对正数 ， 表示 及 .,定义4 如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数 ，使得对于适合不等式 的一切 ，所对应的函数值 都满足不等式 那么常数 就叫函数 当 时的极限，记作,另两种情形:,结论：,几何解释:,例4,证,例5,证明,也即,二、函数极限的性质,.,定理,.,定理(保号性),推论,3.局部保号性,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,证 设 ，则对任意的 ， 总存在 ，当 时，有 又因为 ，则对上述的 ，存在 ， 当 时，有 .由假设 ， .故当 时， .从而有 即 也即函数的子列 收敛.,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,例6,证,二者不相等,三、小结,函数极限的统一定义,(见下表),思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,
