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1、【教育类精品资料】,9.1-9.2微分方程初步, 积分问题, 微分方程问题,推广,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,一、微分方程的基本概念,若未知函数都是一元函数，该微分方程称为常微分方程,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,引例,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得, 使方程成为恒等式的函数,微分方程的解,通解,（解中包含一个任意常数C）,特解, 不含任意常数的解,例1 求微分方程,的通解
2、.,解: 分离变量得,两边积分,得,( C 为任意常数 ),( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,例2 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,由初始条件得 C = 0,( C 为任意常数 ),故所求特解为,练习,解： 分离变量,( C 0 ),两边积分得,三、齐次微分方程,三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ；,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,代入方程得,解得,故原方程通解为,
