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1、第四章 保险的数理基础,精算师是极富激情的数学家，稀有而珍贵 佚名 现代保险学是建立在概率论与大数定律的基础之上的，二者为保险经营的稳定性、费率厘定的科学性以及保险分散与集合的可行性提供了科学的依据。,讲述内容,4.1 概率论在保险中的应用 4.2 大数法则在保险中的应用 4.3 保险费及保险费率厘订的基本原理 4.4 人寿保险中保费率的厘定,4.1 概率论在保险中应用,4.1.1 概率与概率分布的基本内涵 4.1.2 概率论在保险中的应用,概率分布是用来显示各种可能损失结果发生的概率，它是从若干方面的数量来观察的，较为常用: 第一，关于每年总损失的概率分布，也就是一定单位可能遭受的年最大总损
2、失。 第二，关于每年损失次数的概率分布，也就是年损失频率的概率分布。 第三，关于每次损失发生金额大小的概率分布，也就是年损失幅度的概率分布。,4.1.2 概率论在保险中的应用,4.1.2.1 概率论在保险中应用的前提 4.1.2.2 概率论在保险中的具体应用,4.1.2.1 概率论在保险中应用的前提,随机事件的相互独立性是概率论在保险中应用的前提，这主要基于两点考虑： （1） 损失事件的相关性与否是风险集合管理应用与否的前提 （2）损失事件的相关性是判断风险可保的条件,（1） 损失事件的相关性与否是风险集合管理应用与否的前提,保险能否分摊风险与风险事件的相关性程度密切相关，这是运用风险集合管理
3、风险的数理基础。 以随机风险甲与乙两人为例，甲和乙在未来一年之内都有可能遭受事故损失，每人都有20%的可能损失￥2500，80%的可能没有任何损失。 现研究不同情况下风险集合（风险集中到一块，资源也集中到一块）的意义。,情况1：事故损失不相关情形下的风险集合,没有风险集合的情况,每个人的事故损失的概率分布情况： 期望损失=（0.80）（￥0）+（0.20）（￥2,500）=￥500 方差= 0.8(￥0-￥500)2+0.2 (￥2,500-￥500)2 = ￥1,000,000 标准差=￥1,000,0001/2= ￥1,000,有风险集合的情况,每个人的事故损失的概率分布情况： 期望损失=
4、（0.64）（￥0）+（0.32）（￥1,250）+（0.04）（ ￥2,500 ）=￥500 方差= 0.64(￥0-￥500)2+0.32(￥1,250-￥500)2 +0.04 (￥2,500-￥500)2 = ￥500,000 标准差=￥500,0001/2= ￥707,两种情况的比较,风险集合没有改变每一个人的期望损失￥500，但它将损失的标准差从￥1000降低到￥707，损失变得相对可预测了，即风险降低了。 在风险集合中，再增加一个人，风险（标准差）可以进一步降低。依此类推,当集合参与者人数非常多时，损失的标准差（风险）就变得非常接近于零，即集合中样本容量越大，对样本损失的预测就越
5、准确。 由上述分析我们可以得出这样的结论：当损失是相互独立（不相关）时，通过风险集合可以降低风险。,情况2 损失相关情形下的风险集合,损失非完全正相关情形下的风险集合 损失之间常常存在着不同程度的正相关，也就是说当甲遭受损失时，乙遭受损失的概率大于0.2，即甲乙同时遭受损失的概率大于0.04，甲乙同时不遭受损失的概率大于0.64。 当损失是正相关时，风险集合仍然可以降低风险，但降幅没有不相关情形下大。,损失完全正相关情形下的风险集合 正相关的一个极端情形是“完全正相关”，甲乙损失完全正相关含义是：甲受损，乙也受损；甲不受损，乙也不受损。所以，甲乙同时受损的概率和甲或乙受损的概率是一样的（0.2
6、），甲乙同时不受损的概率和甲或乙不受损的概率也是一样的（0.8）。 完全正相关时，风险集合对于降低风险无意义。,（2）损失事件的相关性是判断风险可保的条件,可保风险必须是大量标的物均有遭受损失的可能性，但同时更应关注的是大量标的物不能有同时遭受损失的可能性。,4.1.2.2 概率论在保险中的具体应用,保险费率一般由纯费率和附加费率两部分组成。 纯费率是纯保费与保险金额的比率，虽其计算的具体方法因险种不同而有别，但其计算的共同的数理基础都是风险事故损失的发生概率或损失概率。 财产保险纯费率的计算依据是根据保额损失率或保险财产的平均损失率计算。 人寿保险纯费率的计算依据是生命表和利息。,(1) 财
7、产保险中纯费率的计算,纯保费是指用于弥补被保险人因保险事故而造成损失的保费数额，或是保险人用于陪付给被保险人或受益人的保险金，它需要借助纯费率来计算得出。 纯费率的计算公式是：纯费率=保额损失率（1+稳定系数）。 保额损失率是赔偿金额与保险金额的比值。 稳定系数则是衡量期望值与实际结果密切关系的一个参数。,保额损失率的计算公式为： 保额损失率= 平均保额损失率：根据历年来的保险事故发生的情况，可求出平均保额损失率。,举例说明,表41 历年损失情况,设为平均保额损失率，Xi为不同时期的保险损失额，n为期限，则可得出以下公式：,可见，5%是9年间的平均保额损失率，但它并不是所要求的纯保险费率，因为
8、它具有不稳定性，还要求出稳定系数才能损失率的波动程度。,稳定系数,稳定系数=均方差平均保额损失率。均方差是指保额损失率与平均损失率的离差平方和平均数的平方根，它能表明平均保额损失率的代表性。均方差的计算公式为,式中，为均方差；X为每年损失率；为平均损失率；n为年限。,=,4.2 大数法则,4.2.1 大数法则的基本内涵,大数法则基本内涵是：对相似危险性的不同单位，如果大量地结合在一个组里，那么结合的单位越多，在一定时期内遭遇危险变动的幅度就越小。即同样性质的单位结合数量逐渐增多时，从结合的整体来说，出于相互抵消作用或平均作用的努力，发生危险波动的幅度就会逐渐减少而趋向于稳定。,4.2.2 大数
9、法则的内容及其应用,4.2.2.1 切比雪夫大数定律,设X1，X2，Xn，是相互独立的随机变量序列，且具有相同的数学期望和方差： ,.）， 则对于任意的0，则有 数学含义：对于数学期望和方差均相同的随机变量（或同一随机变量），进行n次独立的观察，则观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量的数学期望值。,应 用,切比雪夫大数定律的保险经营含义：假设有n个被保险人，他们同时投保了n个同质风险且相互独立的标的，用Xn表示每个标的所发生的损失，它是一个随机变量，但所有X1，X2，Xn的期望值相等，即有 每个被保险人的实际损失Xn与其损失期望值一般都不会相等，然而根据大数定律，只要承保标的数量足够大时，
10、投保人所缴纳的纯保费与所有保险标的平均所发生的损失几乎相等。 理论上，只有当一个投保人所缴的纯保费等于他的保险标的损失期望值时，才能保证保险人在整体上实现收支平衡。,4.2.2.2 贝努利大数定律,贝努利大数定律是切比雪夫大数定律的推论，它的基本内涵是：设事件A在一次试验中以概率p发生。以nA表示在n次独立重复试验中事件A出现的次数，则对于任意的正数0，有 贝努利大数定律是用频率解释概率的数学理论，这对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。,应 用,在非寿险精算中，可以假设某一保险标的具有相同的损失概率，这样就可以通过以往的有关统计数据，求出一个比率即这类保险标的发生损失的频率，这个损失概
11、率是对实际概率的估计，与实际概率之间有一个偏差。 根据贝努利大数定律，随着保险标的数量的增加，根据概率的频率解释计算出来的损失概率与实际损失概率之间的误差会逐渐减少。保险人根据大数定律厘定的保费越准确，财务稳定性越强，经营危险越小。,4.2.2.3 普哇松大数定律,假设某一随机事件A在第一次试验中出现的概率为P1 ，在第二次试验中出现的概率为 在第n次试验中出现的概率为Pn。同样用nA来表示此事件在n次试验中发生的次数，则根据普哇松大数定律对于任意的0，有 普哇松大数定律的意思是说：当试验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。 普哇松大数定律运用于保险经营上可以说明，尽管各
12、个相互独立的危险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多的标的，仍可在平均意义上求出相同的损失概率。,大数定律应用于保险的意义,当保险标的数量足够大时，通过以往统计数据计算出来的估计损失概率与实际概率的误差是很小的。 保险经营利用大数定律把不确定数量关系向确定数量关系转化，即某一风险是否发生对某一个保险标的来说是不确定的，但当保险标的数量很大时，我们可以比较准确的估计出其中遭受危险事故的保险标的数量是多少。,4.3 保险费及保险费率厘订的基本原理,4.3.1 保险费和保险费率的内涵 4.3.2 保险费率厘订的一般方法,4.3.1 保险费和保险费率的内涵,（1）保险费的含义,保险费是保险金额与
13、保险费率的乘积。 保险费由纯保费和附加保费构成。 纯保费是保险人用于陪付给被保险人或受益人的保险金，它是保险费的最低界限。 附加保费是由保险人所支配的费用，它是营业费用+营业锐+营业利润构成。,(2 ) 影响保险费的因素,保险金额。在保险费率和保险期限一定的条件下，保险金额与保险费成正比。 保险费率。在保险金额和保险期限一定的条件下，保险费率与保险费成正比。 保险期限。在保险费率和保险金额一定的条件下，保险期限与保险费成正比。,4.3.3 保险费率厘订的一般方法,从理论上讲，保险费率的厘定是在依据损失概率测定纯费率的基础上，再加上附加费率得到的。 在实际业务中，保险费率的测定还需要技术支持，所
14、以存在不同的费率厘定。 一般来说，保险费率的计算方法大致有三类：分类法、增减法和观察法。,4.3.3.1 分类法,分类法是在按风险的性质分类基础上分别计算费率的方法，依据该方法确定的保险费率常常被载于保险手册中，因此又称为手册法。 分类法假设风险损失是一系列相同的风险因素作用的结果，因此通常按一定的标准对风险进行分类，将不同的保险标的，根据风险性质分别归入风险性质一致的相应群体计算基本费率。 我国的企业财产保险按标的的使用性质分为若干类别，每一类又分为若干等级，不同等级的费率水平各异。 人身保险，基本的分类依据是年龄、性别和健康状况，相同年龄和健康状况被归为一类。 在使用分类费率时，可以根据所
15、采取的防灾防损措施而加费或者减费。 分类法的优点在于便于运用，适用费率可迅速查到，缺点是不尽公平。,4.3.3.2 增减法,增减法又称修正法，是在分类法的基础上，结合个别标的的风险状况予以计算确定费率的方法。 增减法确定费率时，一方面凭借分类法确定基本费率，另一方面依据实际经验再予以细分，并结合不同的情况提高或者降低费率。 增减法因其使用结合了风险程度的差异，因此具有促进防灾防损的作用，费率更能够反映个别标的的风险情况，从而坚持了公平负担保险费的原则。 增减法计算确定保险费的方法有三种。,（1）表定法,表定法以每一风险单位为计算依据，在对每一风险单位确定一个基本费率的基础上，根据个别标的的风险
16、状况增减修正。 举例：财产保险在确定费率时通常要考虑建筑物的结构、占用性质、消防设施、周围环境状况、保养情况等。 表定法的优点在于能够切实反映标的的风险状况、促进防灾防损，但因管理费用较高且易因同业竞争而失效。,（2）经验法,经验法是根据被保险人以往的损失经验，对分类法所确定的保险费率予以修正的方法。 经验法的显著特点是：被保险人以往的损失经验被用来确定下一保险期间的保险费率，一般用过去三年的平均损失经验数据来确定下一保险期的保险费率，因此该方法又称为预期经验法。 经验法的计算公式如下： M为经验调整数；A为经验时期被保险人的实际损失；E为被保险人适用某费率的预期损失；C为可靠度。举例说明：某投保人在过去3年经验期间预期损失5万元，实际损失4万元，可靠度为80%，则其经验调整可依据上式求得： 即该投保人下年所缴的保费将减少16%。,（3）追溯法,追溯法是依据保险期间的损失经验数据来确定当期保险费，即保险费率当期终了时，依据实际经验再加以调整修正。一般规定保险期间的最高与最低保险费，如果损失小，
