《高等数学上册第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数资料讲解》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学上册第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数资料讲解(34页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和由参数方程 所确定的函数的导数求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:方程,两边对 x 求导,把y,把y看作x的函数。,,求,解 在方程,解得,例1 设,故,,,椭圆上有两个点,及,处切线与直线,平行,,两条切线方程分别是,即,和,和,例3. 设,是由方程,确定的隐函数,求,解得,将,代入,化简得,例4 设,解 等式两边
2、取对数得,,求,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,二.对数求导法,注意:,2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便,例如,两边取对数,两边对 x 求导,例5. 求,解: 两边取对数 , 化为隐式,的导数。,两边对求导得,又如,对 x 求导,两边取对数,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,?, 且,求,已知,解:,注意:,例6. 求,摆线,在,所对应的点的切线与法线方程,时,摆
3、线上对应的点为,解:,故,所求切线方程为,即,法线方程为,即,例7. 已知椭圆的参数方程,,求,解,例8. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,例9.,求炮弹在时刻,的运动方向及速度大小,(1)先求运动方向,解,(即轨迹的切线方向):,(2)再求速度的大小,故炮弹速度大小:,速度的水平分量为,,垂直分量为,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例10.,将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器,,其速率每分钟4立方米,当水深
4、为5米时,其表面上升,的速度是多少?,解,则,当,(米3/分),试求当容器内水,例11. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方
5、程求导公式,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,例1. 设,例2 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例3. 抛射体运动轨迹的参数方程,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,抛射体
6、轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向, 求,解:,例4. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,例5. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,