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1、第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和由参数方程 所确定的函数的导数求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,隐函数求导方法:方程,两边对 x 求导，把y,把y看作x的函数。,，求,解 在方程,解得,例1 设,故,，,椭圆上有两个点,及,处切线与直线,平行，,两条切线方程分别是,即,和,和,例3. 设,是由方程,确定的隐函数，求,解得,将,代入，化简得,例4 设,解 等式两边
2、取对数得,，求,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,二.对数求导法,注意:,2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便,例如,两边取对数,两边对 x 求导,例5. 求,解: 两边取对数 , 化为隐式,的导数。,两边对求导得,又如,对 x 求导,两边取对数,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,?, 且,求,已知,解:,注意：,例6. 求,摆线,在,所对应的点的切线与法线方程,时，摆
3、线上对应的点为,解:,故,所求切线方程为,即,法线方程为,即,例7. 已知椭圆的参数方程,，求,解,例8. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,例9.,求炮弹在时刻,的运动方向及速度大小,（1）先求运动方向,解,(即轨迹的切线方向):,（2）再求速度的大小,故炮弹速度大小：,速度的水平分量为,，垂直分量为,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例10.,将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器，,其速率每分钟4立方米，当水深
4、为5米时，其表面上升,的速度是多少？,解,则,当,（米3/分）,试求当容器内水,例11. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方
5、程求导公式,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,例1. 设,例2 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例3. 抛射体运动轨迹的参数方程,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,抛射体
6、轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向, 求,解：,例4. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,例5. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,
