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1、第七章 偏微分方程数值解法,7.1 差分方法的基本概念,1.补充知识,“高数”中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方程，如：,(1).,其中,(2).,满足：,( 3). 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 满足：,(4). 满足：,(5). 满足：,(6). 满足：,上面是已知函数: ，验证满足等式，反过来，将等式视为方程，则是求解方程，得到解函数。,因此偏微分方程： (1). 含偏微分的等式， (2). 求解偏微分方程、求含多个自变量的函数 (3). 带有初值、边界条件。,常微分方程的求解已很困难，通过分门别类研究，能求得一些特殊类型方程的解（只含一个变量），即便是一阶方程，
2、也很难求出解析解表达式，也因此，在上一章我们研究了一阶微分方程的数值解法。,要求解偏微分方程比求解常微分方程更难，因此寻求偏微分方程的数值解更显重要，实际上，绝大部分偏微分方程不可能求到解析函数解，基本上都是数值解法。,第二、第三边值条件：,为边界的外法线方向， 为第二边界条件， 为第三边界条件。,各种物理性质的定长问题（不随时间变化过程），都可用椭圆型方程描述。如带有稳定热源或内部无热源的稳定场的温度分布，不可压缩流体的稳定克旋流动及静电场的电热等均满足上述方程。,（2）热传导方程（抛物型）,相应有：柯西（Cauchy）初值条件：,初边值条件为：,第一边值条件：,第二 边值 条件：,第三边值
3、条件为：,在热传导过程的研究中，气体的扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题，都可用上述方程来描述。,（3） 波动方程（双曲型）,最简单形式为线性双曲方程：,其初边值 条件为：,边值条件同热传导方程。,物理中常见的一维振动及各类波动问题，均可用波动方程描述。,3 有限差分法的基本概念,被称为函数 的差分(一阶差分)。,差分与微分是不同的，因为差分是有限量的差，故通常也被称为有限差分。但是，只要增量 很小，差分 与微分 之间的差异将很小。,根据差分的定义，在差分运算中还经常用到一阶中心差分：,由一阶差分的差分，得到 ，称为原函数 二阶差分，同样，当 很小时，二阶差分 很接近于二阶微分
4、 。,设有一函数 ，当其独立变量 有一很小的增量 时，相应地函数 地增量为：,一阶差分 除以增量 的商称为一阶差商，即：,当增量 很小时，它很接近于一阶导数 , 即：,上述三式分别称为一阶向前、向后和中心差商，它们的截断误差可由泰勒公式的展开式得知：,由一阶中心差分得到二阶差分为：,所以，一阶向前差商公式的截断误差为 。,所以，一阶向后差商公式的截断误差为 。,所以，一阶中心差商公式的截断误差为： 。,同理，由泰勒公式可知：,同样，当增量 很小时，二阶差商很接近于二阶导数 ，即：,由此可知，上述三种差商表达式中，以中心差商的截断误差最小。,所以，二阶中心差商公式的截断误差为： 。,同理，偏导数
5、也可以近似地用相应的差商来表达，若设定函数为为 ，当其独立变量 得到一个很小的增量 时，则 方向的一阶偏导数可以近似表达为：,同样，相应的二阶偏导数也可近似地表达为：,有限差分法是用来求解由偏微分方程定解问题所构成的数学模型，其基本思想是利用网络线将自变量的连续变化区域离散化为网格离散节点的集合;将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；然后，基于差分原理的应用，以各离散点上函数的差商来近似代替该点的偏导数。 这样，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分
6、格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域上的近似解。,因此，用差分方法求解偏微分方程定解问题，一般需解决以下问题：,（1）选取网格：对定义区域如何划分？常用的有矩形、菱形等格式。,（2）对偏微分方程及定解条件，选择差分近似，列出差分格式，化偏微分方程为差分方程组（线性代数方程组）。,（3）求解差分方程（解的存在性与唯一性）,（4）讨论差分方程的解是否可作为偏微分方程的解的近似值（收敛性及误差估计）。,按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，为了帮助理论理解，下面先简单介绍常微分方程中初值问题数值解法；,二阶线性微分方程第一边值问题：,（1
7、）差分方程的建立：,要将 离散化，即要用：,则在内节点xi 处，方程化为：,亦即：,这是(n-1)(n-1)的三对角方程组，系数矩阵对角占优追赶法求解。,例 用差分法解二阶线性微分方程第一边值问题:,解：取h = 0.1,则,所以：,因此差分方程为 ：,解此差分方程，计算结果列在下表中：,其中：二阶线性微分方程的解函数为,. 结合一定的代数方程组的解法，编制程序、计算求解差分方程组。,. 采用一定的网格划分格式离散化场域，把实际连续的场离散为有限多个点，用这些点上的参数近似描述实际上连续的场。,对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的步骤通常是：,. 基于差分原理的应用，对
8、场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条件进行差分离散化处理，即用差分代替偏导，给出相应的差分计算格式。,4差分方法求解偏微分方程简例,下面，我们再通过一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程问题的一般过程。,设有一阶双曲型方程初值问题：,将D分成许多小矩形区域（见下图）。这些直线称为网格线，其交点称为网格点， 也称为节点, h和分别称 作x方向和t方向的步长。 这种网格称为矩形网格。,如果我们用向前差商 表示一阶偏导数，即 :,于是，原方程在节点 处可表示为 :,其中,由于当h，足够小时，余项 是小量，在上式中略去 就得到一个与原双曲型方程相近似的差分方程。,差分方程中的 可看作是差分方程
9、的解在节点 处的近似值。由初始条件有：,把差分方程式与上式初始条件结合起来，就得到求解一阶双曲型方程初值问题问题的数值解的差分格式。,而称式 为差分方程的截断误差。,用差分格式求解时，除了截断误差外，每步计算都会产生舍入误差，在递推计算的过程中，误差还会传播。对计算过程中误差传播的讨论就是差分格式的稳定性问题。,如果利用某种差分格式求解，计算过程中误差越来越大，以致所求的解完全失真，则称该差分格式是数值不稳定的。后面的讨论表明，差分格式的稳定性不仅与差分格式本身有关，而且与网格步长之比（称为网格比）的大小有关。如果一种差分格式对任意网格比都稳定，则称该差分格式是无条件稳定的；若只对某些网格比的
10、值稳定，则称为条件稳定。如果对任何网格比都不稳定，则称完全不稳定。完全不稳定的差分格式是无效的。值得指出的是，稳定性与微分方程无关。 。,7.2 椭圆型方程第一边值问题的差分解法,1. Poisson方程差分格式的建立,本节以Poisson方程为模型讨论第一边值问题的差分方法。,考虑Poisson方程第一边值问题：,取h和分别为x方向和 y方向的步长，如右图所示，以两族平行线：,节点的全体记为：,定解区域内部的节点称为内点，记内点集 为 。边界 网格线的交点称为边界点，边界点全体记为 。与节点 沿x 方向或y 方向只差一个步长的点 和 称为节点 的相邻节点。,如果一个内点的四个相邻节点均属于
11、，如上图中的点S，T 称为正则内点，正则内点的全体记为 ，至少有一个相邻节点不属于 的内点称为非正则内点，非正则内点的全体记为 。我们的问题是要求出差分方程在全体内点上的数值解。,为简便起见，记:,对正则内点 ，由二阶中心差商公式:,这就是 Poisson方程差分格式！,假设h=，对于场域内典型的内节点 与周围相邻的节点1、2、3 和 4构成一个所谓对称的星形：,设在这些离散节点上的待求位函数 的近似值分别记作：,则二维泊松方程可近似离散化表示为：,如果位函数 满足的是拉普拉斯方程，即：,则差分离散化后所得的差分方程是：,此时，在节点 上的位函数值等于其周围四个相邻节点位函数值的平均。,由于差
12、分方程中只出现待求函数 在点 与其四个相邻点上的值，故通常称为五点差分格式。,上述差分格式中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数uk ,j 则除了包含正则内点处解u的近似值外，还包含一些非正则内点处u的近似值，因而方程个数少于未知数个数。在非正则内点处Poisson方程的差分近似不能按上述差分格式给出，需要利用边界条件得到。,2. 边界条件的差分计算格式,与场域边界上给定的三类边界条件相对应，边界条件的离散化也分为三大种类，在此，我们只讨论第一类边界条件的差分离散化，即：边界条件给定的是边界上的物理量。,划分网格时，如果相应的网格节点恰好落在边界 上，则只要直接把位函数 的值赋给该对应的边界
13、节点 即可。,划分网格时，如果相应的网格节点不落在边界 上，如下图所示：,（1）直接转移,（2）线性插值,对于邻近边界的典型节点 ，由于这 ，这样， 点及其周围相邻的1、2、3和4点构成了一个不对称的星形。,下面以线性插值法为基础，导出关于 点的差分计算格式：,7.3 典型算例,设有一长直接地金属槽，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为10，对于此槽中间区段的电场分析，可理想化为二维场问题，选定直角坐标系如下图所示：,槽内电位函数 满足拉普拉斯方程，即：,根据有限差分法的计算步骤，本例解题过程如下：,(2). 给出边界条件：由于边界网格节点恰好落在边界上， 因此：,(1). 离散化场域：在该金属槽内用正方形网格进行粗略的划分，选步距 ， 方向的等份数均为4 ，其网格节点分布如下图所示：,(3). 给定初值：取零值作为场域内节点的初值。,(4). 给出内节点的差分方程：,(5). 给出终止条件：当网格内节点相邻两次迭代近似值之差的绝对值小于精度要求时，终止迭代。,
