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1、,第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布,抓 基 础,明 考 向,提 能 力,教 你 一 招,我 来 演 练,第十章计数原理、 概率、 随机变量及其分布,备考方向要明了,一、均值 1一般地，若离散型随机变量X的分布列为,则称E(X) 为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 ,x1p1x2p2xipixnpn,平均水平,2若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量， 且E(aXb) .,p,aE(X)b,3 (1)若X服从两点分布，则E(X) ； (2)若XB(n，p)，则E(X) .,np,二、方差 1设离散型随机变量X的分布列为,(xiE(X)2,平均偏离程度
2、,2D(aXb) ,3若X服从两点分布，则D(X) ,4若XB(n，p)，则D(X) ,a2D(X),p(1p),np(1p),三、正态分布 1正态曲线的特点： (1)曲线位于x轴 ，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线 对称； (3)曲线在 处达到峰值 ； (4)曲线与x轴之间的面积为 ； (5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移； (6)当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越 ，表示总体的分布越集中；越大，曲线 越 ，表示总体的分布越 ,上方,x,x,1,“瘦高”,“矮胖”,分散,2正态分布的三个常用数据： (1)P(X) ； (2)P(2X2) ； (3)P(3X3) .,0
3、.682 6,0.954 4,0.997 4,答案： C,2.设两个正态分布N(1， )(10)和N (2， )(20)的密度函数图像如图 所示，则有 () A12，12 B12，12 C12，12 D12，12,2 1,2 2,答案： A,答案： A,4(教材习题改编)有10件产品，其中3件是次品，从 中任取两件若X表示取到次品的个数则E(X)_.,5已知随机变量服从正态分布N(1,1)，如果P(2) 0.35，则P(02)_.,解析：随机变量服从正态分布N(1,1)，正态曲线关于x1对称，P(2)0.35， P(0)0.35，P(02)120.350.3.,答案：0.3,1均值与方差的作用
4、 均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计方差越大表明平均偏离程度越大，说明随机变量取值越分散反之，方差越小，随机变量的取值越集中,2服从正态分布的随机变量X的概率特点 若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(Xa)0，而Xa并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(Xa)P(Xa)是成立的，这与离散型随机变量不同,精析考题 例1(2011湖南高考)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：,试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)， 设
5、某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率 (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案： B,2(2012豫南九校联考)2011年深圳大运会，某运动项目 设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：,现该运动员最后一个出
6、场，其之前运动员的最高得分为118分 (1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率； (2)若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望E(X),冲关锦囊,1求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分 布列，然后根据均值定义求解 2若随机变量服从二项分布，即XB(n，p)可直接使 用公式E(X)np求解，可不写出分布列 3注意运用均值的线性运算性质即Yaxb则E(Y) aE(X)b.,精析考题 例2(2012贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的
7、抗拉强度指标，其分布列如下：,其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料,自主解答E(X)80.290.6100.29， D(X)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4； E(Y)80.490.2100.49； D(Y)(89)20.4(99)20.2(109)20.40.8. 由此可知，E(X)E(Y)9，D(X)D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料,3(2012衢州模拟)已知随机变量8，若B(10， 0.6)，则E()，D()分别是(
8、) A6和2.4B2和2.4 C2和5.6 D6和5.6,解析：由已知随机变量8，所以有8.因此，求得E()8E()8100.62，D()(1)2D()100.60.42.4.,答案：B,4(2012盐城月考)袋中有相同的5个球，其中3个红球， 2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量的概率分布列： (2)随机变量的数学期望与方差,冲关锦囊,1D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度； D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之D(X)越小，X的取值越集中 2若XB(n，p)，
9、则D(X)np(1p)可直接用不必求 E(X)与分布列.,精析考题 例3 (2011湖北高考)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，则P(4)0.8，则P(02) () A0.6 B0.4 C0.3 D0.2,答案C,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),5(2012朝阳区调研)设随机变量N(1,4)，若P(a b)P(ab)，则实数a的值为_,答案： 1,6(2011郑州第二次质检)已知随机变量服从正态分布 N(1，2)，P(4)0.84，则P(2) () A0.16 B0.32 C0.68 D0.84,解析：服从正态分布N(1，2)，P(4)0.84，P(2)P(4)1P(4)0.16.
10、,答案：A,冲关锦囊,关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(X)，P(2X2)， P(3X3)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等 P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa),解题样板（十八）概率统计解答题的规范指导,考题范例 (12分)(2011重庆高考)某市公租房的房源位于A、B、C三个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A片区房源的概率； (2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望,模板建构 本题主要考查了独立重复试验事件的概率及随机变量的期望求法，解答本题时易怱视以下几点：,一是第(1)问分析不出是独立重复试验，而失误；二是第(2)问中2时要分类去求或用排除法若要避免可先求1和3时的概率利用P1P2P31去求P2，但要保证1,3时概率正确；三是在解答步骤过程中只画出分布列不去详细写明每个值对应的概率导致步骤不完整而丢分,解答此类问题的模板可参考如下： 第一步：确定随机变量的所有可能值 第二步：求每一个可能值所对应的概率 第三步：列出离散型随机变量的分布列 第四步：求均值和方差 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范,点击此图进入,
