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1、,$2换元积分,2,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法 Integration by the first kind of substitution,d(sin2x)=2cos2xdx,上式不成立,$2换元积分,3,在一般情况下：,由此可得换元法定理,$2换元积分,5,第一换元法的实质是：,令,=F(u)+c,查表,注1 式,无论u是自变量还是另一变量x的函数，都成立。,TH1也称为积分形式不变性。,P231积分表中x均可换为u,仍成立。,注2 原来,是统一记号，由TH1,可看成f(x),与dx相乘。,$2换元积分,6,例 example 1（补充）,解
2、,熟悉后可不设u,可省略这两步,$2换元积分,7,例 Example 2 求,解（一）,解（二）,解（三）,$2换元积分,8,例 Example 3 求,解Solution,一般地,$2换元积分,9,例 example 4,解,例 example 5,解,一般地,$2换元积分,10,例 Example 6 求,解,$2换元积分,11,例 Example 7（补充） 求,解,$2换元积分,12,例 Example 8 求,解,公式（20）,$2换元积分,13,例 Example 9（补充） 求,解,(20),$2换元积分,14,例 Example 10,解,公式（22）,例 Example 11
3、,解,公式（21）,$2换元积分,15,例 Example 12（补充）,解,例 Example 13（补充）,解1,$2换元积分,16,解2,例 Example 13,$2换元积分,17,例 Example 14 （补充） 求,解,$2换元积分,18,例 Example 15（补充） 求,原式,解,$2换元积分,19,例 Example 16,解,（16）,例 Example 17（补充）,类似可得,（17）,解1,$2换元积分,20,例 Example 17,解2,例 Example 18（补充）,解,(22),$2换元积分,21,例 Example 19 （补充） 求,解,$2换元积分,
4、22,例 Example 20 求,解,说明Directions,当被积函数是三角函数相乘时， 拆开奇次项去凑微分.,$2换元积分,23,例 Example 21 求,解 由,$2换元积分,24,例 Example 22 求,解（一）,（19）,（19）,$2换元积分,25,解（二）,类似地可推出,公式（19）,（18）,(21),$2换元积分,26,解,例 Example 23 (补充）,令,$2换元积分,27,例 Example 24 (补充）求,解,$2换元积分,28,例 Example 25 求,解,例 Example 26 求,（总习题四，4）,（总习题四，6）,解,$2换元积分,2
5、9,例 Example 27 求,（总习题四，3）,解,由（21）,例 Example 28 求,（总习题四，9）,解,$2换元积分,30,（20）,（22）,（21）,（16）,（17）,（19）,（18）,$2换元积分,31,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法 Integration by the second kind of substitution,$2换元积分,32,证Proof,设 为 的原函数,令,则,则有换元公式,定理Theorem 2,$2换元积分,33,第二类积分换元公式,$2换元积分,34,第二换元法的实质
6、是：,查表,两种换元法的关系：,第一换元法（凑微法）（简化）,=,查表,F(u)+c,=,=,查表,=,第二换元法（代换法） （繁化）,$2换元积分,35,例29 (P247) 求,解,令,（23）,$2换元积分,36,例 Example 30(补充） 求,解,令,$2换元积分,37,例 Example 31 (P248)求,解,令,（24）,被积函数定义域为,$2换元积分,38,（24）,$2换元积分,39,说明(1) Directions,以上几例所使用的均为三角代换 Trigonometric substitution,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可
7、令,可令,$2换元积分,40,说明(2)Directions,积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,解,$2换元积分,41,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),例32(补充） 求,（三角代换很繁琐）,令,解,$2换元积分,42,例33(补充) 求,解,令,$2换元积分,43,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,例34 (补充） 求,令,解,$2换元积分,44,例35(补充）求,解,令,（分母的阶较高）,$2换元积分,45,$2换元积分,46,例36(补充） 求,解,令,$
8、2换元积分,47,$2换元积分,48,(23),(22),$2换元积分,49,基本积分表 ,$2换元积分,50,$2换元积分,51,三、小结 Brief summary,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),$2换元积分,52,思考题Consideration question,求积分,$2换元积分,53,思考题解答 Solution to consideration question,$2换元积分,54,练 习 题Exercises,$2换元积分,55,$2换元积分,56,$2换元积分,57,$2换元积分,58,练习题答案 Answers to exercises,$2换元积分,59,$2换元积分,60,
