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1、2020/8/3,1,第八节 多元函数的极值及其求法,第七章,(Absolute maximum and minimum values),一、多元函数的极值,二、条件极值 拉格朗日乘数法,三、小结与思考练习,2020/8/3,2,一、 多元函数的极值及最大值、最小值,定义 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,2020/8/3,3,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,函数,偏导数,证:,据一元函数极值的
2、必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,定理1 (必要条件),2020/8/3,5,2020/8/3,6,提示:,第一步 求驻点.,第二步 判别.,时, 具有极值,1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,2020/8/3,7,提示:,首先考察函数z在三角形区域D内的极值,其次，考察函数在三角形区域 的边界上的最大值和最小值.,2020/8/3,8,从上例可以看出，计算函数f(x, y)在有界
3、闭区域D的边界上的最大值和最小值有时是相当复杂. 在通常遇到的实际问题中，根据问题的实际背景往往可以断定函数的最大值与最小值一定在区域 D的内部取得，这时就可以不考虑函数在区域边界上的取值情况了.如果又求得函数在区域内只有一个驻点，那么则可直接断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值或最小值.,说明:,2020/8/3,9,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大. （课本 例6）,为,问怎样折法才能使断面面,例3 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,2020/8/3,10,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域
4、D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,2020/8/3,11,二、条件极值 拉格朗日乘数法,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,2020/8/3,12,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,方法2 拉格朗日乘数法.,2020/8/3,13,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日
5、乘数法.,2020/8/3,14,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,推广,2020/8/3,15,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,例4,2020/8/3,16,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,（课本 例
6、7）,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,2020/8/3,17,提示：,目标函数：,约束条件：,构造拉格朗日函数：,2020/8/3,18,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,2020/8/3,19,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,在条件,求驻点 .,3. 函数的最值问题,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),2020/8/3,20,习题78 1； 3； 7,课外练习,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,思考练习,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),则,2020/8/3,21,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点 动画开始或暂停,
