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1、1,特点：平顶.,曲顶柱体体积=？,特点：曲顶.,1.曲顶柱体的体积,一、二重积分的概念和性质,柱体体积=底面积 高,第七节 二重积分,2,播放,求曲顶柱体的体积采用 “分割、取近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,3,步骤如下：,用小平顶柱体体积近似表示小曲顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,分割,近似,极限,求和,5,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,即,6,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,7,3.二重积分的性质,下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面
2、积.,性质2 线性性质,这里A为D的面积.,性质1,8,性质4,性质3 区域可加性,推论1,推论2,9,性质5 估值性质,证,所以,于是,10,性质6(二重积分的中值定理),证,由性质5知,即得证.,11,如果积分区域为D ：,其中函数 、 在区间 上连续.,1.在直角坐标系下计算二重积分,二、二重积分的计算,X-型区域,12,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,13,积分区域为：,一般地，, 先对 y 积分，后对 x 积分的累次积分,记为,14,如果积分区域为：, 先对 x 积分，后对 y 积分的累次积分,Y-型区域,15,解法1,先画出积分区域 D，,先 x 后 y ,例1,
3、16,解法2,先 y 后 x,17,计算,其中 D 由直线,解,先画出积分区域 D ，,先 y 后 x,例2,围成.,18,解,例3,先求两曲线的交点,先对 y 积分，,19,解,例4,20,解,例5,先 x 后 y ,两曲线的交点,21,解,例5,两曲线的交点,选择积分次序的原则：,若选择先 y 后 x ,(1)积分容易；,(2)尽量少分块或不分块.,麻烦.,22,解,例6,23,例7,解,积分区域为,将 D 向 y 轴投影, 改写为,24,解,设,则,例8,交换下面积分的次序:,25,设,将 D 向 y 轴投影,26,例9,交换下面积分的次序:,27,利用对称性简化二重积分的计算,设积分区
4、域D关于y 轴对称，,(1) 若f(x,y)关于 x 是奇函数，则有,(2) 若f(x,y)关于x 是偶函数，,则有,其中 是D的右半区域.,28,设积分区域D关于x 轴对称，,(1) 若f(x,y)关于 y 是奇函数，则有,(2) 若f(x,y)关于y 是偶函数，,则有,其中 是D的上半区域.,注意：不仅要考虑区域的对称性，还要考虑函数的奇偶性.,利用对称性简化二重积分的计算,29,例10 设有平面区域,解,30,解,选(A).,31,例11 求二重积分,解,区域D分别对称于x轴和y轴，,32,2.在极坐标系下计算二重积分,在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：,1)当积分区域D为
5、圆域、环域或扇形域等时, D的 边界用极坐标表示较为简单；,2)被积函数具有 等形式时,用极坐标积分较为容易.,直角坐标与极坐标的转换关系为：,33,所以面积元素为,34,二重积分化为极坐标下二次积分的公式,区域特征如图,35,解,例12,在极坐标系下,36,例13,解,区域D关于y 轴对称，,用极坐标，,37,38,例14,解,直接做麻烦, 化为极坐标,39,例15,解,所以,在极坐标系下,圆方程为,直线方程为,40,解,计算二重积分,例16,由区域的对称性和函数的奇偶性，,可只考虑第一象限部分，,41,解法1,例17,42,所以,43,解法2,例17,用直角坐标系，,先对 x 积分，,44,所以,45,例18,解,46,练习：,P317 习题八,47,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,48,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,49,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,50,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,51,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,52,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,
