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1、2020/8/3,郑平正 制作郑平正 制作,去“数学广角”喽!,2020/8/3,郑平正 制作郑平正 制作,3.1回归分析的基本思想及其初步应用(三),高二数学 选修2-3 第三章 统计案例,2020/8/3,郑平正 制作,比数学3中“回归”增加的内容,数学统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,选修2-3统计案例 引入线性回归模型 ybxae 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,2020/8/3,郑平正 制作,4、
2、两个指标: (1)类比样本方差估计总体方差的思想,可以用作 为 的估计量, 越小,预报精度越高。,(2)我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其 计算公式是:,R2 1,说明回归方程拟合的越好;R20,说明回归方程拟合的越差。,2020/8/3,郑平正 制作,表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,是否可以用回归模型来拟合数据。,5、残差分析与残差图的定义:,然后,我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果,判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性,
3、作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图。,2020/8/3,郑平正 制作,残差图的制作及作用 1、坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 2、若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域; 3、对于远离横轴的点,要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明: 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这样的
4、带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。,2020/8/3,郑平正 制作,例1 在一段时间内,某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为:,求出Y对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。,解:,2020/8/3,郑平正 制作,例1 在一段时间内,某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为:,求出Y对的回归直线方程,并说明拟合效果的好坏。,列出残差表为,0.994,因而,拟合效果较好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,2020/8/3,郑平正 制作,例2 关于x与y有如下数据: 有如下的两个线性模型: (1)
5、 ;(2) 试比较哪一个拟合效果更好。,2020/8/3,郑平正 制作,6、注意回归模型的适用范围:,(1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的,预报时也仅适用于这个总体。 (2)模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型,只有用来对那段时间范围的数据进行预报。 (3)建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围,通常不能超出太多。 (4)在回归模型中,因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的,某个女大学生的身高为172cm,我们不能利用所建立的模型预测她的体重,只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。,2020/8/3,郑平
6、正 制作,7、一般地,建立回归模型的基本步骤为:,2020/8/3,郑平正 制作,案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中:,(1)试建立产卵数y与温度x之间的回归方程;并预测温度为28oC时产卵数目。 (2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化?,2020/8/3,郑平正 制作,画散点图,假设线性回归方程为 :=bx+a,选 模 型,所以,二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。,探索新知,方案1,当x=28时,y =19.8728-463.73 93,一元线性模型,2020/8/3,郑平正 制作,奇怪?,9366 ? 模型不好?,202
7、0/8/3,郑平正 制作,方案2,问题3,合作探究,t=x2,二次函数模型,2020/8/3,郑平正 制作,方案2解答,平方变换:令t=x2,产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a,作散点图,并由计算器得:y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54,相关指数R2=r20.8962=0.802,将t=x2代入线性回归方程得: y=0.367x2 -202.54 当x=28时,y=0.367282-202.5485,且R2=0.802, 所以,二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。,2020/8/3,郑平正
8、 制作,产卵数,气温,指数函数模型,方案3,合作探究,对数,2020/8/3,郑平正 制作,方案3解答,当x=28oC 时,y 44 ,指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化,由计算器得:z关于x的线性回归方程 为z=0.118x-1.665 , 相关指数R2=r20.99252=0.985,2020/8/3,郑平正 制作,最好的模型是哪个?,线性模型,二次函数模型,指数函数模型,2020/8/3,郑平正 制作,比一比,最好的模型是哪个?,2020/8/3,郑平正 制作,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想: 模型适用的总体; 模型的时间性; 样本的取值范围对模型的影响;
9、 模型预报结果的正确理解。,小结,2020/8/3,郑平正 制作,什么是回归分析? (内容),从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著,哪些不显著 利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给出这种预测或控制的精确程度,2020/8/3,郑平正 制作,回归分析与相关分析的区别,相关分析中,变量 x 变量 y 处于平等的地位;回归分析中,变量 y 称为因变量,处在被解释的地位,x 称为自变量,用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量;回归分析中,因变量 y 是随机变量,自变量 x 可以是随机变量,也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度;回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小,还可以由回归方程进行预测和控制,2020/8/3,郑平正 制作,练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y(万元),有如下的统计资料。,若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求: (1)线性回归方程 的回归系数 ; (2)求残差平方和; (3)求相关系数 ; (4)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?,2020/8/3,郑平正 制作,解:,(1)由已知数据制成表格。,所以有,