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1、,平顶柱体体积=底面积高,曲顶柱体体积= ？,曲顶柱体的体积,第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念,解法: 类似定积分解决问题的思想:,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D.,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面.,求其体积.,“划分, 近似, 求和, 逼近(取极限)”,步骤如下：,将 D 任意划分为 n 个小闭区域,在每个,中任取一点,则第 i 小块的体积,总体积,取极限,得,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,“划分, 近似, 求和, 逼近(取极限)”,3. 二重
2、积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,若在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D，,故二重积分可写为,则面积元素为,对二重积分定义的说明：,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二重积分 的几何意义：,二重积分存在定理:,(证明略),定理：,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,二、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,设 为D的面积，,性质,若在D 上,特别地,则有,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,从而,而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上,(仅在点(1,0)处取等号),解,解,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,解,解,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,小结,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,3. 证明:,其中D 为,解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,练 习 题,练习题答案,
