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1、第四节 无穷小、无穷大,一.无穷小及其运算性质,二. 无穷大,一、无穷小及其运算性质,1.无穷小的定义,2.函数的极限与无穷小的关系,3.无穷小的运算法则,1.无穷小的定义,定义,简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的函数就称为该极限过程中的一个无穷小.,无穷小很小的数 ！ 零是可以作为无穷小的唯一的常数。 以零为极限的数列 称为 时的无穷小。,2. 函数极限与无穷小的关系,反之亦然.,由以上的分析, 你可得出 什么结论 ?,定理,纸上得来终觉浅， 绝知此事须躬行！,同一个极限过程中的有限个无穷小之和仍是一个无穷小.,同一个极限过程中的有限个无穷小之积仍为无穷小.,3.无穷小的运算法则,
2、常数与无穷小之积仍为无穷小.,在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小所得到商 仍为一个无穷小.,在某一极限过程中, 无穷小 与有界函数的乘积仍是无穷小.,证,证,证明,证,证,(i) 一般说来,有界函数的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1).,(ii) 我们没有涉及两个无穷小商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.,注意：,解,二. 无穷大,1.无穷大的定义,2.无穷大与无穷小的关系,3.无穷大的运算性质,定义,1.无穷大的定义,解,无穷大是否一定是无界函数 ?,在某极限过程中,无界函数是否一定是无穷大 ?,但该数列是无界的.,Q ： 当 x
3、 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大 ？,A： 因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大！,2. 无穷大与无穷小的关系,( 无穷大的倒数为无穷小, x 0 ),( 无穷小的倒数为无穷大, x 0 ),则,在某一极限过程中,请自己根据定义自已进行证明.,定理,无穷大一定是同一极限 过程中的无界函数.,但反之不真！,3.无穷大的运算性质,不是无穷大！,是无穷大！,两个无穷大的和是否仍为无穷大?,考察,有界函数与无穷大的乘积,是否一定为无穷大？,不着急, 看个例题:,有界函数与无穷大的乘积,是否一定为无穷大？,不着急, 看个例题:,不一定再是无穷大！,结论:,在某个极限过程中,
