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1、8.7 二重积分,1.二重积分的概念 2.二重积分的性质 3.二重积分的计算,一、二重积分的概念,1.引例曲顶柱体的体积,曲顶柱体,如何求曲顶柱体的体积？,二、二重积分的性质,1.,2.,3.,必可积!,4.,5.,6.,三、二重积分的计算,1. 直角坐标系下二重积分的计算,1)画出区域D的图形,2)选择积分次序，确定积分限,3)计算,=(e1)2,=(e2-e)-(e-1),=e22e1,解:,2002-12-25,多元函数积分学,14,例2 计算,其中D 是直线 y1, x2及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域,解法2. 将D看作Y型区域,x,y,1x2,1yx,1y2,y
2、x2,例3. 计算,其中D 是抛物线xy2及直线,xy2所围成的闭区域.,解 (1)将D看作X型区域, 则,(2)将D看作Y型区域, 不需分块.,2002-12-25,多元函数积分学,16,0 x2？,1)写出积分区域D,3)改变区域类型, 写出两次积分,解:,2)画出积分区域,0 x1,0yx,1x2,0y,0y1,yx1,=,2002-12-25,多元函数积分学,17,例5. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,0y2,=,2002-12-25,多元函数积分学,18,课后作业,P322: 26(1)(2)(3) 27(3)(4)(5),分析：从积分区域考虑，
3、均需,先对y积分简单些.,分块；从被积函数考虑,原式=,分析： 的原函数不是初等函数 ,故本题先对y积分积不出.,注:常见的积不出的积分,练习: 计算二重积分,D由y=x、y=1、x=0围成.,2002-12-25,多元函数积分学,22,例8. 计算,解:,分析： 的原函数也不是初等 函数 ,故本题先对x积分积不出.,其中D 是直线y = x, y =0,所围成的闭区域.,2,注：若题为计算,则应先积分换序(P309: 例4),解1视为X型区域，先对y 后对x积分,例9. 计算,其中D由直线yx, x和y所围成.,解2视为Y型区域，先对x后对y积分,(繁),注：化为累次积分，选择积分次序时，要
4、考虑,1.被积函数的特点； 2.积分区域的形状。,例10求两个底圆半径相等的直交圆柱面 所围成的立体的体积。,解：由对称性 V8V1,被积函数: x2z2 R2,解得:,积分区域D: x2y2=R2,分析:二重积分几何意义曲顶柱体体积,关键:寻找被积函数z=f(x,y)及积分区域D,R,D,2002-12-25,多元函数积分学,26,2. 极坐标系下二重积分的计算,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线 =常数, 分划区域D 为,2002-12-25,多元函数积分学,27,设,则,特别, 对,2002-12-25,多元函数积分学,28,思考: 下列
5、各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),2002-12-25,多元函数积分学,29,例11. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,2002-12-25,多元函数积分学,30,注:,利用例11可得到一个在概率论与数理统计,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例11的结果, 得,故式成立 .,2002-12-25,多元函数积分学,31,分析：绝对值部分为零的曲线，将积分区域D分成D1、D2两部分，绝对值内函数在D1、D2上异号，据此去绝对值，积分相加即可
6、,D：x2y29,此外，本题积分区域为圆形，被积函数具f(x2y2) 形式，故选择极坐标积分法,例12计算二重积分,2002-12-25,多元函数积分学,32,解,如图,解：由对称性,例13求球体x2y2 z2 a2被圆柱面x2y2ax所截得的那部分立体的体积,=,课后作业,P322: 28(4)(5)(6) 29(1) 30(3),2002-12-25,多元函数积分学,35,下课,2002-12-25,多元函数积分学,36,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,2002-12-25,多元函数积分学,37,例2. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,2002-12-25,多元函数积分学,38,设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,2002-12-25,多元函数积分学,39,例3. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,
