《备战2021届高考数学（理）一轮复习专题：第6节 正弦定理和余弦定理及其应用 作业》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2021届高考数学（理）一轮复习专题：第6节 正弦定理和余弦定理及其应用 作业（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 第 6 节 正弦定理和余弦定理及其应用 【选题明细表】 知识点、方法题号 利用正、余弦定理解三角形1,2,7 与三角形面积有关的计算6,8 三角形形状的判断3 几何计算问题12,13 实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14 基础巩固(时间:30 分钟) 1.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=,c=2,cos A= ,则 b 等于(D) (A)(B)(C)2(D)3 解析:由余弦定理得 5=b 2+4-2b2 ,解得 b=3（b=- 舍去）,选 D. 2.在ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 sin A 等于(D) (A)(B)(C
2、)(D) 解析: 如图,设 BC 边上的高为 AD, 因为 B= , 所以BAD= . 所以 BD=AD, - 2 - 又 AD= BC,所以 DC=2AD, 所以 sinBAC=sin(BAD+DAC) =sin 45cosDAC+cos 45sinDAC =+ =. 故选 D. 3.(2018杭州模拟)在ABC 中,cos=,则ABC 一定是 (A) (A)等腰三角形(B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)无法确定 解析:由 cos=得 2cos 2 -1=cos A=cos B, 所以 A=B,故选 A. 4.(2018通辽模拟)海面上有 A,B,C 三个灯塔,AB=10n mil
3、e,从 A 望 C 和 B 成 60视角,从 B 望 C 和 A 成 75视角,则 BC 等于(D) (A)10n mile(B)n mile (C)5n mile(D)5n mile 解析:由题意可知,CAB=60,CBA=75, 所以C=45,由正弦定理得=, 所以 BC=5. 5.(2018南宁模拟)在ABC 中,若 sin 2Asin2B+sin2C-sin Bsin C, - 3 - 则 A 的取值范围是(C) (A)(0, (B) ,) (C)(0,(D) ,) 解析:由正弦定理角化边,得 a 2b2+c2-bc. 所以 b 2+c2-a2bc, 所以 cos A= , 所以 0A
4、 . 6.(2018淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形 面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂 并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约 之,为实.一 为从隅,开平方得 积.”若把以上这 段文字写成公式,即 S=.现有周 长为 2+的ABC 满足:sin A sin Bsin C=(-1)(+1).试用“三斜求积术”求得ABC 的 面积为(A) (A)(B)(C)(D) 解析:因为 sin Asin Bsin C=(-1)(+1), 由正弦定理得 abc=(-1)(+1). 因为 a+b+c=2+, 所以 a=-1,b=,c=+
5、1. 所以 ac=2-1=1.c 2+a2-b2=1. 所以 S=.故选 A. - 4 - 7.(2017全国卷)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60,b=,c=3,则 A=. 解析:由正弦定理=得=, 所以 sin B=, 又 bc,所以 BC, 所以 B=45,A=180-60-45=75. 答案:75 8.(2017浙江卷)已知ABC,AB=AC=4,BC=2. 点 D 为 AB 延长线上一 点,BD=2,连接 CD,则BDC 的面积是,cosBDC=. 解析:依题意作出图形,如图所示. 则 sinDBC=sinABC. 由题意知 AB=AC=4,BC=B
6、D=2, 则 cosABC= ,sinABC=. 所以 SBDC= BCBDsinDBC= 22=. 因为 cosDBC=-cosABC=- =, 所以 CD=. 由余弦定理,得 cosBDC=. 答案: - 5 - 能力提升(时间:15 分钟) 9.(2018宁波模拟)在ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,且 cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b=,则 csin C 等于(D) (A)31(B)1 (C)1 (D)21 解析:由 cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得 2cos 2B-3cos B+1=0,解得 cos B=1(舍去)或 cos B=
7、, 所以 sin B=, 所以由正弦定理知 csin C=bsin B=21. 10.(2018石家庄一模)在ABC 中,AB=2,C= ,则 AC+BC 的最大值为 (D) (A)(B)2(C)3(D)4 解析:由正弦定理可得, =4. 因为 A+B=. 所以 AC+BC=4sin B+4sin A =4sin B+4sin(-B) =4sin B+4( cos B+sin B) =2cos B+10sin B =4sin(B+)(tan =), 因为 0B, - 6 - 故 AC+BC 的最大值为 4. 11. (2018内蒙古赤峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同 一铅直平面内,
8、已知飞机的飞行高度为 10 000 m,速度为 50 m/s.某一 时刻飞机看山顶的俯角为 15,经过 420 s 后看山顶的俯角为 45,则 山顶的海拔高度为m.(取1.4,1.7) 解析: 如图,作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D,由题意知A=15, DBC=45, 所以ACB=30, AB=50420=21 000(m). 又在ABC 中,=, 所以 BC=sin 15=10 500(-)(m). 因为 CDAD, 所以 CD=BCsin DBC=10 500(-)=10 500(-1)7 350(m). 故山顶的海拔高度 h=10 000-7 350=2 650(m). 答案:2
9、 650 12. (2018四川泸州二珍)如图,在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.a=b(sin C+cos C).若 A= ,D 为ABC 外一点,DB=2,DC=1,则四边 形 ABDC 面积的最大值为. - 7 - 解析:因为 a=b(sin C+cos C), 所以由正弦定理得 sin A=sinABC(sin C+cos C). 即 sin(ABC+C)=sinABC(sin C+cos C), 所以 cosABCsin C=sinABCsin C. 因为 C(0,),所以 sin C0, 所以 tanABC=1. 又ABC(0,),所以ABC= . 在BCD
10、中,因为 DB=2,DC=1, 所以 BC 2=12+22-221cos D=5-4cos D. 又因为 A= ,ABC= , 所以ABC 为等腰直角三角形. 所以 SABC= BC 2= -cos D. 又因为 SBCD= BDCDsin D=sin D. 所以 S 四边形 ABDC= -cos D+sin D = +sin(D- ). 所以当 D=时,S 四边形 ABDC最大. 最大值为 +. 答案: + 13. (2018福建宁德一检)如图,ABC 中,D 为 AB 边上一点,BC=1, B= . - 8 - (1)若BCD 的面积为 ,求 CD 的长; (2)若 A= ,= ,求的值.
11、 解:(1)BC=1,B= ,SBCD= BCBDsin B= 1BD= ,BD=. 在BCD 中,由余弦定理得 CD 2=BC2+BD2-2BCBDcos B=1+2-21 =1, 所以 CD=1. (2)在ACD 中,由正弦定理得=, 所以 sin ACD=, 在BCD 中,由正弦定理得=, 所以 sin DCB=, 所以= =. 14.(2018江西联考)已知函数 f(x)=2sin 2x-2sin2(x- ),xR. (1)求函数 y=f(x)的对称中心; (2)已知在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 f （ + ） =, ABC 的外接圆半径为,求ABC 周
12、长的最大值. 解:由 f(x)=1-cos 2x-（1-cos2（x- ） =cos(2x- )-cos 2x = cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x- cos 2x=sin(2x- ). (1)令 2x- =k(kZ),则 x=+(kZ), - 9 - 所以函数 y=f(x)的对称中心为(+,0),kZ. (2)由 f( + )=得 sin（B+ ）= sin B+ cos B=asin B+acos B=b+c, 由正弦定理得sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin Csin Asin B =sin B+cos Asin B, 又因为 sin B0, 所以sin A-cos A=1sin(A- )= . 由 0A得- A- ,所以 A- = ,即 A= . 又ABC 的外接圆的半径为, 所以 a=2sin A=3. 由余弦定理得 a 2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc (b+c) 2- (b+c)2= . 即 b+c6, 当且仅当 b=c 时取等号, 所以ABC 周长的最大值为 9.
