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1、第八章 多元函数微分法及其应用,引 言,上册中讨论的函数是一元函数问题.但在许多,实际问题中往往涉及到多方面的因素，反应在,数学上就是多元函数以及多元函数的微分和积,分问题. 多元函数微积分的基本概念、理论和,方法是一元函数微积分中相应概念、理论和方,法的推广与发展，它们既有许多相似之处，又,有很多本质上的不同. 学习时注意比较和区分.,为主，讨论多元函数的微分法及其应用.,本章将在一元微分学的基础上，以二元函数,1. 平面点集 n 维空间,二元有序数组（x,y）或点的全体，即,表示坐标平面.,坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为,平面点集,记作,例 圆 内所有点的集合：,一、准备知识,定
2、义了线性运算和距离的集合 称为二维空间.,n 元有序数组,n 维空间中的每一个元素,称为该点的第k个,称为空间中的一个点,坐标 .,定义了线性运算和距离的集合 称为二维空间.,推广：,2. 邻域,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),中点 的 邻域为,1.若不需要强调邻域半径 ,也可写成,2.点P0 的去心邻域记为,说明：,在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻,域与圆邻域可以互相包含.,平面上的方邻域为,。,3. 区域,(1) 内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = ,则称 P 为 E 的
3、内点；,则称 P 为 E 的外点；, 若对点P 的任一邻域 U(P) 既含E中的内点,显然, E的内点必属于E , E 的外点必不属于E ,E 的边界点可能属于E, 也可能不属于E .,也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .,(2) 聚点,若对任意给定的 ,点P 的去心邻域,内总有E 中的点 ,则称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于E , 也可以不属于E,(因为聚点可以为E 的边界点 ),所有聚点所成的点集成为E 的导集 ., 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线,(3) 开区域及闭区域, 若点集E的点都是内点，则称E为开集；, 若点集E E, 则称E为闭集；, 开区域连同
4、它的边界一起称为闭区域.,连通的开集称为开区域,简称区域;, E的边界点的全体称为E的边界, 记作E ;,相连 ,则称D是连通的 ;,例如，在平面上,开区域,闭区域,整个平面是最大的开域 ,点集,也是最大的闭域；,是开集，但非区域 ., 对区域D , 若存在正数K , 使一切点PD,则称D为有界域 ,否则称为无界域 .,与某定点A 的距离 AP K ,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强,设非空点集,点集D 称为函数的定义域；,数集,称为函数的值域 .,特别地，当n = 2时, 有二元函数,当n = 3时,有三元函数,映射,称为定义在D上的n元函数，记作,定义,例如
5、, 二元函数,定义域为圆域,图形为中心在原点的上半球面.,说明:,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,的图形一般为空间曲面 .,三元函数,定义域为单位闭球,图形为,空间中的超曲面.,三、多元函数的极限,设n元函数,则称A为函数,P0 是D的聚点，,若存在常数A ,对一切,记作,都有,对任意正数，总存在正数 ,定义,(也称为 n 重极限),当n =2时, 记,二元函数的极限可写作：,(二重极限),例1 设,求证：,证:,故,总有,要证,若当点,以不同方式趋于,函数趋于不同值或有的极限不存在，则可以断,一元函数：,1.多元函数极限,因此，有判定多元函数极限不存在的方法：,定函数
6、极限不存在 .,注：,解 设P(x , y)沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,讨论函数,例2,则有,2. 二重极限,不同.,例如,显然,与累次极限：,但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .,四、 多元函数的连续性,定义 设n元函数,定义在D上,如果函数在D上各点处都连续, 则称此函数,如果存在,否则称为不连续,则称n元函数,在D上连续.,连续,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在定义区
7、域内连续.,例3 求函数,的连续域.,解,只须求出该初等函数的定义区域.,定理：若 f (P) 在有界闭域 D上连续, 则,在D上可取得最大值M及最小值m ;,对任意,有界闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,2.最值定理,1.有界性定理,3.介值定理,二、多元函数极限的概念,三、多元函数连续的概念,有界闭区域上连续函数的性质（三个）,（注意趋近方式的任意性）,一、多元函数的概念,小结,二元函数图形一般为空间曲面.,一切多元初等函数在定义区域内连续.,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,因为若取,作业,p.11 习题8-1,1; 5.(1);(4);(5); 6.(4);(5); 7.(1); 8; 9,
