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1、求导运算,第四节,函数的和差积商的求导法则,你记住了吗?,特别,推广,例1 设,解,例2,解,练一练,求下列函数的导数,反函数的求导法则,推广:,例5 设 ,求,解 由于 的反函数为,所以,(因为 ),同理,可求得,即,练习,解 因为 的反函数是,所以,特别,基本导数公式,复合函数的求导法则,推广,链式法则 Chain Rule,证明关键式子,也可以不写出中间变量,例6 设,例7 设,解,解 因为,所以,可分解为,所以,也可以不写出中间变量,环环相扣,例8 设,解,练一练,求下列函数的导数,例9,例10,解,解,练一练,求下列函数的导数,高阶导数,四阶导数,n阶导数,导函数的导数,引例,规律:
2、 每四阶导数重复一次;正弦、余弦交替出现。,例11,解,所以,即,同理可得,常用的高阶导函数,隐函数的导数,隐函数的求导方法将方程两边同时对自变量x求导。,例12,所以,注意:y是x的函数,则y的函数f(y)视为x的复合函数。,解 将方程两边同时对 x 求导,得:,因为当 x = 0时,从原方程可以解得 y = 0,练一练,所以,解 将方程两边同时对 x 求导,得:,将上式两边再对 x 求导得:,注意 y 是 x 的函数,例13,幂指函数的导数,两边取对数,得,将方程两边同时对 x 求导(注意 y 是 x 的函数)得:,解法2,解法1,转化为初等函数,直接求导法,转化为隐函数,对数求导法,例1
3、4,一般地,幂指函数 的求导,可有两种方法, 都可得到一般公式:,如,练习 设,解答,对数求导法,两边取对数,得,两边对 x 求导(注意 y 是 x 的函数)得:,对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算 为主的函数的求导。,例15,解,练一练,解,解,所以,由参数方程所确定的函数的导数,注意一阶导数也是 t 的函数,Y是x的复合函数 t是中间变量,求由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。,解,例16,是t的函数,是x的复合函数,练习,解,练一练,解,相关变化率,例1 一个飞机观察员观察到一架飞机正在的1143米的高度向他飞来,仰角为 ,并以 /s的速度增加,问:飞机的地面速度是多少?,建立变量间的关系式,解,将上式两边同时对 t 求导,得,例2 设圆的面积为A,半径为 ,如果半径 以3mm/s的速度 增加,求面积A的增加速度。,所以,而,所以,