材料力学 第5章 扭转

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1、.,1,第 五 章 扭 转,.,2,5.1 扭转的概念及实例,扭转试验,.,3,5.1 扭转的概念及实例,Me,Me,荷载特征：一对转向相反、位于垂直杆轴线的两平面内（横截面）的力偶；,变形特征：杆件的任意两个横截面将绕杆轴线发生相对转动，而杆的轴线仍保持直线。,扭转角,剪切角,.,4,扭转的实例,汽车的转向操纵杆,传动轴 钥匙 拧毛巾 等,轴：以扭转变形为主的杆件。,.,5,5.2.1 外力偶矩的计算,每秒输入功：,每秒Me 作功：,注意单位,对传动轴等扭转构件，通常已知输入功率P（kW）和转速n (rpm) ,要求扭矩，先要求出外力偶矩Me,.,6,5.2.2 扭矩和扭矩图,1、扭矩的概念

2、,扭转变形的杆往往称之为扭转轴；,扭转轴的内力称为扭矩,2、扭矩的计算 截面法,Me,T,Me,Me,T 扭矩，单位：Nm,.,7,5.2.2 扭矩和扭矩图,3、扭矩正负号的规定,确定扭矩方向的右手螺旋法则：,大拇指指向截面的外法线方向，4个手指的指向为该截面上扭矩的正方向。,外法线方向,T 0,外法线方向,T 0,.,8,5.2.2 扭矩和扭矩图,4、扭矩图扭转变形的内力图,扭矩图的作图步骤：,扭矩图的注意事项：,先画基线（横坐标x轴），基线轴线； 画纵坐标， “正在上，负在下”； 标注正负号、值的大小及图形名称。,多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向； 基线轴线，“正在上，负在下”，

3、比例一致，封闭图形 正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力值的大小，不带正负号； 阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。,.,9,例题：,477.5Nm,955Nm,解：先计算外力偶矩,用直接法作扭矩图,Tmax=955Nm,637Nm,例5-1： 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。,T图,.,10,一、薄壁圆管扭转时的应力,1、实验,将一薄壁圆管表面用纵向平行线和圆周线划分,两端施以大小相等方向相反一对力偶矩,观察到：,# 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变,# 纵向平行线都倾斜了一个角度

4、，变成螺旋线， 仍保持相互平行,Me,5.3 纯剪切,.,11,5.3 纯剪切,1、圆筒任意两横截面之间相对转动的角位移，称为扭转角，用 表示。,2、纵线倾斜的角度，即圆筒表面上每个格子的 直角的改变量，称为 剪应变。用 表示 。,Me,Me,.,12,5.3 纯剪切,取其中任意一个格子ABCD作为研究对象,Me,Me,变形后，ABCD由原来的矩形变成了平行四边形ABCD,C,D,所以，横截面上有剪应力的存在，而无正应力存在。,.,13,5.3 纯剪切,1、横截面之间相对转动了一个角度，横截面上只有剪应力，没有正应力；,结论：,2、剪应力的方向垂直于半径。,.,14,5.3 纯剪切,采用截面法

5、将圆筒截开，横截面上有扭矩T,由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚均匀分布,从中取出一块微面积dA，,Me,T,T,dA,设壁厚为t，平均半径为R，则,则微面积dA上的合力为：,t壁厚,R 平均半径,2、薄壁圆筒横截面剪应力的计算,.,15,5.3 纯剪切,t 壁厚,R 平均半径,注意：,T,1、薄壁圆管扭转时横截面上只有剪应力，没有正应力；,2、剪应力沿壁厚均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致;,3、注意此公式的前提是薄壁圆管的扭转剪应力公式。,.,16,在单元体左、右面（杆的横截面）上只有剪应力，如图建立坐标系，剪应力方向与 y 轴平行。,可知，两侧面的内力元素 x dy dz 大小相等

6、，方向相反，将组成 一个力偶。其矩为：,由平衡方程,二、剪应力互等定理,(x dy dz) dx,5.3 纯剪切,.,17,5.3 纯剪切,要满足平衡方程，在单元体上下两个截面上必然也有力的存在，并且组成一个力偶。其矩为：,(y dx dz) dy,由平衡条件，有：,(x dy dz) dx (y dx dz) dy,.,18,5.3 纯剪切,剪应力互等定理：,单元体两个相互垂直的平面上，垂至于两平面交线的剪应力总是同时存在，且大小相等，都指相（或都背离）两平面的交线。,纯剪应力状态：,单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元体为纯剪应力状态。,.,19,5.3 纯剪切,当剪应力不超过材料

7、的剪切弹性极限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切胡克定律。,G称为剪切弹性模量，单位GPa,三、剪切胡克定律,在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量 称为剪应变。,时,.,20,思考题,指出下面图形的剪应变,.,21,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,t壁厚,R 平均半径,前面推导得到：薄壁圆筒横截面剪应力与扭矩之间的关系：,T,剪应力沿壁厚均匀分布,.,22,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,1、整个横截面上只有剪应力，没有正应力;,1、实验,平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面（形状和大小都不改变）,Me,Me,一、圆截面杆受扭时横截面上的应力,结论

8、：,2、剪应力的方向垂直于半径。,.,23,Me,Me,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,dx,2、剪应力的公式推导,分别从几何、物理和静力平衡三方面推导,a,a,b,1,dx,b,3,2,4,2,3,从受扭圆杆内任取长为dx的微段，a、b两个横截面相对转动了角度 ，横截面圆周上任一点1 处的剪应变是,a,b,a,b,.,24,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,再从该微段中取出微元1234O1O2作为研究对象。,1,3,2,4,2,3,R,在离轴线任意距离处的剪应变为，则：,m,m,dx,.,25,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,1,3,2,4,2,3,R,离轴线任意距离处的剪应变为:,则说明 ：

9、同一半径 圆周上各点剪应变 均相同，且其值与 成正比。,m,m,dx,称为单位长度上的扭转角（扭率），在同一横截面上为常数。,.,26,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,由剪切胡克定律：,同一圆周上各点剪应力 均相同 ，且其值与 成正比 ， 垂直与半径。,1,3,2,4,2,3,R,m,dx,.,27,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,整个横截面上的内力元素 的合力必等于零，并组成一个力偶，这就是横截面上的扭矩。,(极惯性矩),令:,.,28,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,离轴线任意距离处的剪应变为：,(极惯性矩),圆截面杆受扭时横截面上的剪应力：,.,29,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,T为

10、横截面上的扭矩； 为求应力的点到圆心的距离,T,T,剪应力垂直于半径，指向与T的转向一致；剪应力沿直径呈直线分布，横截面周边各点处剪应力达到最大值，圆心处剪应力为零。,令,Wt ：扭转截面系数，单位m3,注意：此公式及分布规律对于实心和空心圆截面杆均适用。,.,30,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,2、当内径与外径之比d/D0.9时，空心圆截面杆的剪应力计算可采用薄壁圆管的应力公式。,圆截面杆受扭时横截面上的应力,注意：1、扭转变形时横截面上只有剪应力，没有正应力。,t壁厚,R 平均半径,求应力点的半径,极惯性矩,.,31,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,抗扭刚度,扭率：,扭率（单位长度上的扭

11、转角）描述了扭转变形的程度,扭转角：,单位：rad,二、扭转变形,当在杆两截面之间的扭矩T不变，且两截面间为等截面的：,当在杆长L内扭率分段为常数时，用求和公式,.,32,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,例5-2 传动轴AB传递的功率P=7.5kW，转速n=360rpm。轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=30mm，d=20mm。计算AC段横截面边缘处的剪应力，以及CB段横截面外边缘和内边缘处的剪应力。,.,33,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,解：1、计算扭矩：,2、计算极惯性矩：,3、计算剪应力：,计算扭矩先计算外力偶矩：,.,34,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,例5-3

12、 传动轴如图，作用在轴上的外力偶矩m1=1000Nm，m2=700Nm， m3=300Nm，轴的直径d=50mm，l1=l2=1.5m，材料的剪切弹性模量G=80GPa，求截面B相对于截面A的扭转角。,.,35,5.4 圆轴扭转时的应力和变形,解：1、计算扭矩：,2、计算相对扭转角：,截面B相对于截面A的扭转角为：,当扭矩不一样时，画出扭矩图：,.,36,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,对于等截面杆，扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上,（1）校核强度:,（2）设计截面:,（3）确定荷载:,先求许用扭矩，再由扭矩和荷载之间的关系确定荷载,.,37,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计

13、算,以度每米为单位时：,以弧度每米为单位时：,当在杆两截面之间的扭矩T不变，且两截面间为等截面的扭转角：,.,38,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,刚度条件的应用：,（3）确定荷载,（1）校核刚度,（2）设计截面,.,39,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。,解：,.,40,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例：某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩m=1.5kNm,传动轴用外径D=90mm、壁厚t=2.5mm，材料为45号钢，钢管做成。=60MPa。试求： 1、校

14、核此轴的强度； 2、若采用实心圆轴，并使其与钢管的强度相同，设计其直 径。,.,41,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1、计算抗扭截面模量：,2、强度校核：,3、要使强度相同，即满足最大剪应力相同：,若两轴长度相等，材料相同，则两轴的重量之比：,.,42,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例： 已知A轮输入功率为48kW，B、C、D轮输出功率分别为18、15、15kW，轴的转速为300r/min，G=80GPa， 60MPa，=0.85 (度/m)。试设计该轴直径。,.,43,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,解：1、先计算外力偶矩:,2、采用截面法作出扭矩图:,由扭矩图可知：,危

15、险截面是AC段中的任意一个截面。,.,44,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,3、设计轴的直径:,由强度条件:,由刚度条件:,为了同时满足强度和刚度条件，选定,可见此传动轴的控制因素为刚度条件。,.,45,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？,8,16,.,46,5.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?,解：设实心轴的直径为 d1 ，由,得：,0.8,0.8,1.192,0.8,0.512,.,47,5.6 扭转静不定问题,已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外 力偶矩m,AC 抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭 刚度为G2Ip2 . 求:轴的扭矩.,解: 1 静力学关系,2 变形几何关系,扭转静不定问题,.,48,5.6 扭转静不定问题,3 物理关系,解出:,.,49,作业,本章习题,5.7 5.11 5.13 5.16,.,50,课堂练习,2、钢质实心轴和铝质空心轴