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1、3.5 向量范数与矩阵范数,一、 向量范数（/*Vector Norm*/）,正定性：,齐次性：,三角不等性：,非负实值函数,称为赋范线性空间,可以推广到,常用的几种向量范数：,设, 1-范数：, 2-范数：, -范数：,上述3种向量范数统称为P-范数(或者Holder范数),设,由夹逼定理,例1：设 是n阶实对称正定矩阵，则 是 中的一种向量范数。,证明：,只需验证范数的3个条件成立即可。, 非负性：, 齐次性：, 三角不等性：,存在非奇异下三角阵,证明：,只需验证范数的3个条件成立即可。, 非负性：, 齐次性：, 三角不等性：,闵可夫斯基(Minkowski)不等式：,向量范数的性质：,性
2、质1,性质2,是 的n元连续函数.,例如,性质4,向量范数的等价性具有传递性。,性质5,的所有向量范数是彼此等价的。,（向量序列的范数极限）,即向量序列的范数收敛等价于向量分量收敛,性质6,二、 矩阵范数（/*Matrix Norm*/）,正定性：,齐次性：,三角不等性：,赋范线性空间,可以推广到,相容性:,证明：,只需验证范数的4个条件成立即可。,记,Frobenius范数,简称F-范数,其中,相容性（/*Compatibility*/）,证明：,设,显然它是一种向量范数。,令,记,由 得,而,从属性（/*Subordination*/）,证明：,矩阵范数与向量范数的相容性：,非负性：,设 ，则,由知,齐次性：,三角不等性：,相容性：,矩阵范数的一般定义形式：,谱半径,证明：,因为 是半正定的对称阵,可设其特征值为,其对应的正交规范特征向量为,则对,可看成是 维向量空间，由向量范数的性质3得,设 ,则有,
