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1、第三章傅里叶变换,本章的主要内容：,1、引言 2、周期信号的傅里叶级数分析 3、典型周期信号的傅里叶级数 4、傅里叶变换 5、典型非周期信号的傅里叶变换 6、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 7、傅里叶变换的基本性质 8、卷积特性（卷积定理） 9、周期信号的傅里叶变换 10、抽样信号的傅里叶变换 11、抽样定理,第一节引言,直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有许多突出的优点。 当今
2、，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法。,但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里叶分析这一数学工具增添了新的生命力。 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。 本章讨论的路线： 傅里叶级数正交函数傅里叶变换，建立信号
3、频谱的概念； 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。,第二节周期信号的傅里叶级数分析,一、三角函数形式的傅里叶级数,1、一种三角函数形式的傅里叶级数,为了积分方便，通常取积分区间为：,三角函数集是一组完备函数集。,2、另一种三角函数形式的傅里叶级数,3、傅里叶级数展开的充分条件,通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。,4、
4、基波、谐波,可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。,1,n,n,c,w,频谱图： 信号的幅度谱,5、幅度谱、相位谱,周期信号的主要特点：,二、指数形式的傅里叶级数,1、指数形式的傅里叶级数的形式,2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系,3.指数形式表示的信号频谱-复数频谱,Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。,正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。,4.周期信号的功率特性 时域和频域能量守恒定理,周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。,帕塞瓦尔定理,1.函数的对称性,三、函数的对称性与傅里叶系数的关系,要将信号f(t)展开为傅里叶
5、级数，如果f(t)是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比较简单。,波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。,2.傅里叶级数的系数求解 (1)偶函数信号,其傅里叶级数表达式为：,其傅里叶级数表达式为：,（2）奇函数信号,（3）奇谐函数信号（半波对称函数 ）,奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：,例子,例如：奇谐函数,四、傅里叶有限级数与最小方均误差,实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。 显然，有限项数是一种近似的方法
6、，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。,例子,以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。,解：其傅里叶级数表达式为：,从上面例子看出： （1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。 (2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。,当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始
7、以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。,五、吉布斯（Gibbs）现象,举例3.1：,解：,举例3.2：,画出信号的频谱图(幅度谱和相位谱)。,已知信号,),4,5,cos(,2,1,),3,cos(,),4,sin(,),3,sin(,),sin(,2,1,),(,p,p,p,p,p,p,-,-,+,+,-,+,=,t,t,t,t,t,t,f,作业,P160 3-1，3-2，3-3，3-8,第三节典型周期信号的傅里叶级数,典型周期信号的傅里叶级数,典型周期信号的频谱分析可利用： 傅里叶级数 或傅里叶变换 介绍的典型周期信号有如下： 1、周期矩形脉冲信号 2、周期锯齿脉冲信号 3、
8、周期三角脉冲信号 4、周期半波余弦信号 5、周期全波余弦信号,1.周期矩形脉冲信号,周期矩形脉冲信号,f（t）,T,t,T：脉冲周期,：脉冲宽度,E：脉冲幅度,第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数,f(t)是偶函数,bn=0,T,：周期,第二步：展成指数形式付里叶级数FS,当 时,第三步：频谱分析,与,之比值有关，取,与,包络线均为,为离散频率,即,计算第一个振幅为零的谐波次数n,0 an0,-,第四步：讨论频谱结构与 、T 的关系,1.当 不变，T增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减 小,当,非周期信号,连续频率,非周期信号连续频谱,此例中 为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合画在一
9、张图上。,对于一般频谱，常以0频率开始 振幅为包络线最大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度,2.当T不变， 减小时,T不变,间隔不变,3.频带宽度的定义,对于周期矩形信号，一般,或,周期矩形信号的时间特性：f(t)变化快,f(t)变化慢,频率特性：,变化快的信号必然具有较宽的频带,四、周期信号的频谱特点,(1)离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间 的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。,(2)谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数 倍。,(3)收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐 减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减 小,第四节傅里叶变换,一、傅里叶变换（非周期
10、信号）,1.傅里叶变换引入,由于周期信号的周期T1，谱线的间隔w10，则离散谱变成连续谱。 由于周期信号的周期T1，谱线的长度F(nw1)趋于零，则其频谱失去应有的意义。 但从物理意义上讲，既然是一个信号，那么必然有能量，无论如何分解，必须存在频谱分布。,2.频谱密度的概念,对非周期信号不能采用周期信号的频谱定义方式。而必须引入一个新的量。,频谱密度函数：在T1，谱线的间隔w10 ,不趋于零，而趋近于有限值，且变成一个连续函数，简称为频谱函数。,3.傅里叶变换定义,由：,得：,4.非周期信号的幅度频谱与相位频谱,频谱函数F(w)：一般是复函数。,：是F(w)的模，它代表信号中各频率分量的相对大
11、小。,：是F(w)的相位函数，它代表信号中各频率分量的相位关系。,人们习惯上也把：,：为非周期信号的幅度频谱；,：为非周期信号的相位频谱。,5.傅里叶变换形式的三角形式,6.傅里叶变换的特点,非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。 由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。 由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限（功率无限）的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度趋于零。 非周期信号的频谱用频谱密度来表示。 看出： 周期信号其频谱为离散谱；（傅里叶级数） 非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换） 周期信号与非周期信号
12、，傅里叶级数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。,7.傅里叶变换的存在充分条件,傅里叶变换存在的充分条件是在无限内满足绝对可积条件：,借助奇异函数（如冲激函数）的概念，可使许多不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等存在傅里叶变换。,第五节典型非周期信号的傅里叶变换,典型非周期信号的傅里叶变换,本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。 1、单边指数信号 2、双边指数信号 3、奇双边指数信号 4、矩形脉冲信号 5、钟形脉冲信号 6、符号函数 7、升余弦脉冲信号,一、单边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,代入傅里叶变换定义公式中,解：,单边
13、指数信号的频谱如下：,二、双边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,代入傅里叶变换定义公式中,解：,双边指数信号的频谱如下：,频域频谱,相位等0,三、奇双边指数信号的傅里叶变换,频域频谱,时域波形,四、矩形脉冲信号的傅里叶变换,时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限分布。通常，认为信号占有频率范围（频带）为,五、钟形脉冲信号的傅里叶变换 （高斯脉冲）,其傅里叶变换为：,因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其相位频为零。,六、符号函数的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号
14、函数的频谱。,七、升余弦脉冲信号的傅里叶变换,升余弦脉冲信号：,其傅里叶变换为：,它的频谱是由三项构成的，他们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了,代入傅里叶变换定义公式中,解：,作业,P164 3-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，,第六节冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换,（1）冲激函数的傅里叶正变换 f(t)= d(t),一、冲激函数的傅里叶变换,单位冲激函数的频谱等于常数，即：在整个频率范围内频谱是均匀分布的。 在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分
15、量。 称此频谱为“均匀谱”或“白色谱”。,其傅里叶变换为：,（2）冲激函数的傅里叶反变换,冲激函数的频谱等于常数。,反过来，?信号的频谱是冲激函数,直流信号的傅里叶变换是冲激函数,求解直流信号的傅里叶变换 解：采用宽度为幅值为E的矩形脉冲,当 时，矩形脉冲成为直流信号f(t)=E,其傅氏变换为：,若令,比较上两式可得到：,二、冲激偶信号的傅里叶变换,冲激偶函数：,其傅里叶变换为：,推导： 解：,两边求导：,得：,推广：,三、阶跃信号的傅里叶变换,阶跃函数：,可见： 单位阶跃函数u(t)的频谱在w=0点存在一个冲激函数， 即：u(t)含有直流分量。 此外：由于u(t)不是纯直流信号，它在t=0点
16、有跳变，因此在频谱中还存在其他频率分量。,第七节傅里叶变换的基本性质,傅里叶变换的性质,傅里叶变换建立了时间函数f(t)与频谱函数F(w)之间的对应关系。其中，一个函数确定之后，另一函数随之被唯一地确定。,1、对称性 2、线性（叠加性） 3、奇偶虚实性 4、反折 5、共轭性能 6、尺度变换特性 7、时移特性 8、频移特性 9、微分特性 10、积分特性,傅里叶变换的性质,傅里叶变换的性质,T,其中，a1,a2为常数,傅里叶变换的性质,傅里叶变换的性质,傅里叶变换的性质,当信号在时域中压缩（a0)，等效于在频域中扩展。 当信号在时域中扩展（a0)，等效于在频域中压缩。 当信号在时域中 沿纵轴反折（a=-1)，说明信号在时域中沿纵轴反折等效于在频域中频谱也沿纵轴反折。,即：信号的波形压缩a倍，信号随时间变化加快a倍，则它所包含的频率分量增加a倍。即频谱展宽a倍。根据能量守恒定律，各频率分量的大小必然减小a倍。 在
