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1、9 压杆稳定,9.1 压杆稳定的概念 9.2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 9.3 欧拉公式的应用范围临界应力总图 9.4 实际压杆的稳定因数 9.5 压杆的稳定计算压杆的合理截面,问题的提出,第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为,例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力为 = 196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为, F = A = 3.92 kN,实际上，当压力不到 40 N 时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与 受压时变弯 有关。,受压变弯的原因：,压杆在制作时其轴线存在初曲率；,作用在压杆上的
2、外力作用线不可能毫无偏差的与杆的轴线相重合；,压杆的材料不可避免地存在不均匀性。,中心受压直杆：杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作用线与压杆轴线 重合。（不存在压杆弯曲的初始因素）,在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力。,研究方法：,当 F 增大到一定的临界值 Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，压杆在原来直线形态下的平衡是 不稳定平衡。,压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。 压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。,连杆失稳,临界力（Fcr）: 中心受压直杆由
3、稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力 的临界值。,工程实例,9.1.2 压杆失稳灾难,1925年苏联莫兹尔桥在试车时因桥梁桁架压杆失稳导致破坏时的情景。,1983年10月4日，高 54.2 m、长 17.25 m、总重 565.4 kN大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤 。,防止压杆失稳的关键所在：,压杆工作时所受到的压力必须小于其临界力。,9.2.1 两端铰支细长压杆的临界力,两端铰支，长为 l 的等截面细长中心受压直杆，抗弯刚度为 EI 。,当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡,考察微弯状态下局部压杆的平衡:,M (x) = Fcr w (x),二阶常系数线性齐次微分方程,
4、微分方程的解:,w =A sinkx + B coskx,边界条件:,w ( 0 ) = 0 , w ( l ) = 0,0 A + 1 B = 0 sinkl A +coskl B = 0,B = 0 sinkl A =0,若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符因此可得：,sinkl = 0,sinkl = 0,（n = 0、1、2、3）,屈曲位移函数 :,最小临界力:,两端铰支细长压杆的临界力的欧拉公式,临界力 Fcr 是微弯下的最小压力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。,9.2.2 两端固定细长压杆的临界力,两端固定，长为 l 的等截面细长中心受压直杆，抗弯刚度为
5、EI 。,当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡,考察微弯状态下局部压杆的平衡:,M (x) = Fcr w M0,二阶常系数线性非齐次微分方程,微分方程的全解:,边界条件:,w ( 0 ) = 0 , w ( l ) = 0；q（0）= 0 ， q（l）= 0,（n = 0、1、2、3）,最小临界力:,9.2.3 不同杆端约束下细长压杆的临界力,各种支承压杆临界力公式的统一形式：,一端自由，一端固定 = 2.0 一端铰支，一端固定 = 0.7 两端固定 = 0.5 两端铰支 = 1.0 两端固定，但可沿横向相对移动 = 1.0,其中： 长度系数,例9-1 图示各杆材料和截面均相同，试问哪
6、一根杆承受的压力最大， 哪一根的最小？,因为,又,解：,故取,例9-2 已知：图示压杆 EI ，且杆在 B 支承处不能转动，求：临界力,例9-3 由 A3 钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。在 xy 平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支， z = 1，长度为 l1 。在 xz 平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。,解：,在 xy 平面内失稳时，z 为中性轴,在 xz 平面内失稳时，y 为中性轴,9.3.1 临界应力与柔度,压杆横截面上的应力为,各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式, 临界应力的欧拉公式,压杆的柔度（长细比）,柔度是影响压
7、杆承载能力的综合指标。, 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。,惯性半径,该方程是建立在材料服从虎克定律基础上的,利用了挠曲线近似微分方程,令：,当 时， ，才能用欧拉公式计算压杆的临界力或临界应力。,满足的 压杆称为 细长杆或大柔度杆,9.3.2 欧拉公式的适用范围,Q 235钢，,经验公式,压杆称为 中柔度杆,直线型,抛物线型,a、b 是与材料相关的常数,压杆称为 小柔度杆或短粗杆,主要问题变为强度问题，而非稳定性问题！,9.3.3 临界应力总图,临界应力 scr 与柔度 l 之间的变化关系图,欧拉公式,直线型经验公式,例9-4 图示压杆的 E = 70GPa，p = 175 MPa
8、。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。,解:, P，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：,例9-5 图示圆截面压杆，d = 100 mm，E = 200 GPa，P = 200 MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。,解:,例9-6 图示立柱，L = 6 m，由两根 10 号槽型 A3 钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问 a =？时，立柱的临界压力最大值为多少？,解：1、对于单个10号槽钢，形心在 C1 点。,两根槽钢图示组合之后:,（z1）,当,时最为合理：,2、求临界力：,大柔度杆，由欧拉公式求临界力。,例9-7 图示矩形截面压杆，其约束性质为：在xz平面内为两
9、端固定；在xy平面内为一端固定，一端自由。已知材料的 E = 200 GPa，P = 200 MPa。试求此压杆的临界力。,解:,xy 平面内,xz 平面内,压杆在 xy 平面内失稳，z 为中性轴,欧拉公式适用。,xy 平面内,xz 平面内,压杆临界力为,例9-8 截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为d 两端铰支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。,解：,圆形截面杆：,正方形截面杆：,由 1 = 2 得,例9-9 AB，AC 两杆均为圆截面杆，其直径 D = 0.08 m，E = 200 GPa，P = 200 MPa，容许应力 = 160
10、MPa。由稳定条件求此结构的极限荷载 Fmax,解：,对 A 点，由平衡方程得,两杆都可用欧拉公式,AB 杆,AC 杆,由 AB 杆的稳定条件，有,取 Fmax = 662,由 AB 杆的稳定条件，有,9.4.1 稳定许用应力,压杆所能承受的极限应力总是随压杆的柔度而改变，柔度越大，极限应力值越低。,在压杆设计中，将压杆的稳定许用应力 s st 表示为材料的强度许用应力 s 乘以一个随压杆柔度 l 而改变的 稳定因数（折减系数） j = j（l）,压杆的稳定许用应力 s st,nst 稳定安全系数,9.4.2 安全系数法,压杆的稳定性条件：,用上式校核压杆的稳定性称为安全系数法,例9-10 一
11、压杆尺寸截面如图，材料为 A3 钢，承受的轴向压力为 F = 120 kN，稳定安全系数 nst = 2，校核压杆的稳定性。,在 xy 面内失稳时，压杆两端为铰支，长度 l = 940 mm 。,在 xz 面内失稳时，压杆近似两端固定，长度 l 1= 880 mm 。,在 xy 面内失稳，z 为中性轴,解：(1) 求柔度 ,在 xz 面内失稳，y 为中性轴,杆在 xz 面内先失稳，应用 y 计算临界力。,（2）求临界力，按安全系数法作稳定校核,因为 y p ，用经验公式计算临界力,压杆是稳定的,A3钢 p = 123，抛物线型经验公式中，材料常数 a = 235 MPa，b = 0.00666
12、 MPa,例9-11 图示立柱 CD 为外径 D = 100 mm ，内径 d = 80 mm 的钢管，高 h = 3.5 m，sp = 200 MPa， ss = 240 MPa，E = 200 GPa。设计要求的强度安全系数 n = 2，稳定安全系数 nst = 3 。试求容许荷载 F 的值。,解：1）由平衡条件可得,2）按强度条件确定 F,3）按稳定条件确定 F ,立柱属大柔度杆用欧拉公式计算,稳定条件,所以,9.5.1 压杆的稳定计算折减系数法,压杆的稳定性条件：,用上式校核压杆的稳定性称为折减系数法,例9-12 图示为型号 22a 的工字钢压杆，材料A3钢。已知压力F = 280 k
13、N，容许应力 = 160 MPa，试校核压杆的稳定性。,解: 由型钢表查得 22a 工字钢的,查表：,插分：, 稳定,例9-12 图示支架，AC 为圆木杆，直径 d = 150 mm，容许应力 = 10 MPa。试确定容许荷载 F 。,解:,查表得：,取结点A，,根据平衡条件，得,例9-13 一端固定一端自由的工字型截面压杆，材料为 A3 钢，已知 F = 240 kN ，l = 1.5 m， = 140 MPa ，试按稳定性条件选择工字钢的型号。,解：,在折减系数法中， ，要确定 A，需要知道 j ，但在截面未定之前，无法确定柔度 l ，也无法确定 j 。因此采用试算法。,试算法：先假定 j
14、（在 0 1 之间变化），由稳定条件计算出面积 A，然后由面积 A 及截面形状计算柔度 l ，查出j ，再根据 A 及查出的 j 值其是否满足稳定条件，如不满足，再重新假定 j 值，重复上述过程，直到满足稳定条件为止。,假定 j 0 = 0.5,选择 20a 工字钢,20a 工字钢,绕 y 轴失稳,查表得,假定的 j 0 过大，假定 j 2 = （0.5 + 0.34）/ 2 = 0.42,选择 22a 工字钢,22a 工字钢,绕 y 轴失稳,查表得,故，选择 22a 工字钢,例9-14 厂房的钢柱长 7m，上，下两端分别与基础和梁连结。由于与梁连结的一端可发生侧移，因此，根据柱顶和柱脚的连结
15、刚度，钢柱的长度系数 = 1.3 。钢柱由两根 3 号钢的槽钢组成，符合钢结构设计规范（GBJ 17- 88）中的实腹式 b 类截面中心受压杆的要求。在柱顶和柱脚处用螺栓借助于连结板与基础和梁连结，同一截面上最多有四个直径为 30 mm 的螺栓孔。钢柱承受的轴向压力为 270 kN，材料的强度许用应力 = 170 MPa。试为钢柱选择槽钢号码。,解：(1)先按稳定条件选择槽钢型号,假设 0 = 0.5,每根槽钢的截面面积为,查表，选择 14a 号槽钢,单根 14a 槽钢,组合截面 iz 的值与单根槽钢的值相同,查表得,假定的 j 0 过大，假定 j 2 = （0.5 + 0.262）/ 2 =
16、 0.38,选择 16 槽钢,单根 16 槽钢,查表得,选择 16 槽钢,为保证槽钢组合截面压杆在 xz 平面内也有足够的稳定性，还需计算两槽钢的间距 h 。,假设压杆在 xy，xz 两平面内的长度系数相等同，则应使槽钢组合截面的,单根 16 槽钢,实际所用两槽钢的间距不小于 81.4 mm。,(2) 校核截面强度,令,满足强度要求,故，选择 16 号槽钢,9.5.2 提高压杆稳定性的措施,欧拉公式,越大越稳定,减小压杆长度 l,减小长度系数 m（改变压杆的约束形式）,增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）,增大弹性模量 E（合理选择材料）,减小压杆长度 l,减小长度系数 m,增大截面惯性矩 I,但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。 （1）大柔度杆采用不同钢材对稳定性差别不大 （2）中柔度杆临界力与强度有关，采用不同材料对稳定性有一定的影响 （3）小柔度杆
