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1、2013考研高等代数考试大纲 考试的总体要求河南理工大学数学与信息科学学院硕士研究生入学高等代数考试是为招收学院数学与应用数学、信息与计算科学专业学生而设置的具有选拔功能的业务水平考试。它的主要目的是测试考生对高等代数基础知识的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试的考生. 总体要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和严格的代数方法。特别是要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力. 考试形式和试卷结构： 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟 二
2、、答题方式 答题方式为闭卷、笔试 三、试卷内容结构 多项式 12 % 行列式 线性方程组 矩阵 36 % 二次型 16 % 线性空间 线性变换 20 % 欧几里得空间 16 % 四、试卷题型结构 试卷题型结构为 选择判断题 6小题，每题6分，共36分 填空题 6小题，每题6分，共36分 解答题（包括证明题） 5小题，共78分 考试内容与要求 一、多项式 考试内容 数域、一元多项式、整除、最大公因式、互素、因式分解定理、重因式、多项式函数、实、复系数多项式的因式分解、有理系数多项式、齐次多项式、一元多项式根与系数的关系及一元多项式有重根的判别式。 考试要求 1.理解整数与多项式的基本概念. 2.
3、掌握求最大公因数和最大公因式的Euclid算法. 3.掌握多项式函数的特点及根与系数的关系，Eisenstein准则. 4.了解代数基本定理及其应用. 二、行列式 线性方程组 矩阵 考试内容排列、行列式及其性质、行列式的计算技巧、行列式按一行（列）展开、行列式按多行（列）展开、Cramer法则. n维向量空间、向量的线性相关性与线性无关性、向量组的极大无关组与秩、矩阵的秩、线性方程组有解判别定理、齐次和非齐次线性方程组解的结构. 矩阵的运算、矩阵的行列式与秩、矩阵的逆、矩阵的分块运算、初等矩阵与矩阵的初等变换、矩阵的等价与等价标准形、分块乘法的初等变换. 考试要求 1.熟练掌握行列式的计算法及
4、计算技巧。掌握关于Gramer法则应用要强调的前提条件.2.掌握求解线性方程组的Guass消元法，有解判定准则和解的结构定理.3.熟练掌握初等变换以及在求秩、逆矩阵及解线性方程组等方面的应用.4.了解矩阵及其运算以及和数域P上向量空间上的线性映射的关系.5.熟练掌握矩阵的计算方法和行列式的基本性质及计算技巧；学会线性方程组问题和矩阵问题的对应关系. 三、 二次型 考试内容二次型的矩阵表示、二次型的标准形（规范形）及标准形（规范形）的唯一性、用非退化线性替换化二次型为标准形（规范形）、矩阵的合同，正定、负定、半正定、半负定二次型与正定、负定、半正定、半负定矩阵. 考试要求 1.理解二次型的概念，
5、矩阵的合同概念及其性质. 2.掌握将二次型化为标准形的方法. 3.熟练掌握复数域与实数域上二次型的规范形和唯一性定理. 4.掌握正定二次型与正定矩阵的概念和判别法. 5.掌握实二次型的分类. 四、线性空间 考试内容 线性空间的概念、基与维数、坐标；子空间的交与和、和与直和的判定、维数定理；线性空间同构. 考试要求1.理解线性空间、线性映射的基本概念和理论.2.掌握子空间、不变子空间和直和的定义与性质.3.熟练掌握基变换与坐标变换方法.五、线性变换 考试内容 线性变换的矩阵与线性变换的运算，线性变换的特征值与特征向量，矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似与对角化，线性变换的值域与核，不变子空间，J
6、ordan标准形，最小多项式求法. 考试要求 1.掌握线性变换的运算性质. 2.熟练掌握特征值、特征向量和特征多项式的定义和计算.3.熟练掌握矩阵相似的概念和判定方法，Jordan标准形的计算应用，矩阵对角化的条件和判定方法.4.了解矩阵的性质和应用及有理标准形的定义.5.了解最小多项式的求法. 六、欧几里德空间 考试内容 两个向量的内积,欧氏空间,向量的长度、两个向量的夹角,度量矩阵,标准正交基，正交变换和正交矩阵,正交相似矩阵，对称变换与对称矩阵。实对称矩阵的对角化. 考试要求 1.理解欧几里得空间的基本性质，正交基和Schmidt正交方法以及实对称矩阵的基本性质.2.熟练掌握将实对称矩阵化成对角阵的方法.3.掌握应用正交变换将实二次型化成标准型的方法.4.了解最小二乘法的定义与应用.主要参考书：北京大学，高等代数（第三版）同
