国家实力分析论文（2020年8月整理）.pdf

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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 1 国家实力分析国家实力分析 20112011 年年 5 5 月月 一 寸 光 阴 不 可 轻 2 国家综合实力国家综合实力 一、一、 问题重述问题重述 随着科技合生活水平的发展，一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、 日、 德等大国的国家综合实力进行分析判断，运用层次分析法为其提供了一种手 段，即在国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易进行主要数据统 计， 把专家意见和分析者的客观判断结果直接而有效的结合在一起，确定合适的 准则及进行实事求是的对比。一个供参考的层次结构如图 7 所示 1。 图 1 国家综合实力 问题一、根据层次分析法得出准则层的各因素

2、相对重要性的两两判断矩阵， 即综合国力的国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的成对比较 矩阵，并对其进行检验。 问题二、用同样的方法构造对象层对准则层中的每一个准则的成对比较矩 阵。 问题三、计算组合权向量并做组合一致性检验。最终得到综合国力最强的国 家，并且可以将其他各国家的综合国力进行排名。 国家综合实力国家综合实力 国民国民 收入收入 军事军事 力量力量 科技科技 水平水平 社会社会 稳定稳定 对外对外 贸易贸易 美、俄、中、英、法、日、德等大国美、俄、中、英、法、日、德等大国 一 寸 光 阴 不 可 轻 3 二、二、 问题分析问题分析 在针对各个国家综合实力的比较分析判断出

3、综合实力最强的国家， 其要考虑 的因素有各个方面，如：国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易 等，在比较、判断、评价时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以 量化， 人的主观选择会起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题 带来本质上的困难。明显在本题中我们用层次分析法来解决国家综合实力的比 较。将其分为目标层、准则层、对象层。并利用 Matlab 2软件进行计算。 针对问题一、通过对国民收入（GDP）的数据处理，用把专家意见和分析者 的客观判断结果直接而有效的结合在一起， 处理得到准则层的各因素相对重要性 的两两判断矩阵，即综合国力的国民收入、军事力量、科技水平、社

4、会稳定、对 外贸易的成对比较矩阵，并求出该成对比较矩阵的特征向量。利用一致性指标、 随即一致性指标和一致性比率对该矩阵做一致性检验。 若检验通过， 特征向量 （归 一化 3后）即为权向量。若检验不通过，要重新进行成对比较，或对已有的矩阵 修正。 针对问题二、用问题一中同样的方法构造对象层对准则层中的每一个准则 的成对比较矩阵，对于每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应特征向量，并 进行一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量。若检验不通 过，要重新进行成对比较，或对已有的矩阵修正。 针对问题三，计算最对象层对目标层的组合权向量，并在酌情做组合一致性 检验。若检验通过，则可按照组合

5、权向量表示的结果进行判断。最终得出综合国 力最强的国家，并且可以对其他各个国家进行综合国力的排名。 三、三、 模型建立模型建立 3.1 模型准备 3.1.1 层次分析法 4 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称 AHP，在 20 世纪 70 年代 中期由美国运筹学家正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化 的分析方法。 由于它在处理复杂的判断问题上的实用性和有效性，很快在世界范 一 寸 光 阴 不 可 轻 4 围得到重视。它的应用已遍及经济和、能源政策和分配、 、军事指挥、运输、农 业、教育、人才、医疗和环境等领域。层次分析法的基本思路与人

6、对一个复杂的 决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 它在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性地分解 成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又 支配下一层的因素或受到下层因素的作用。 最上层为目标层， 通常只有 1 个因素， 最下层通常为方案或对象层， 中间可以有一个或几个层次， 通常为准则或指标层。 当准则过多时(譬如多于 9 个)应进一步分解出子准则层。 并且你可以先确定这些 准则在你的心目中各占多大比重。接着构造成对比较阵，从层次结构模型的第 2 层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用和 19 比较 尺度构造成对比较

7、阵，直到最下层。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对 应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若 检验通过， 特征向量(归一化后)即为权向量： 若不通过， 需重新构造成对比较阵。 计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过， 则可按照组合权向量表示的结果进行决策， 否则需要重新考虑模型或重新构造那 些一致性比率较大的成对比较阵。 运用层次分析法有很多优点，其中最重要的一点就是简单明了。层次分析法 不仅适用于存在不确定性和主观信息的情况，还允许以合乎逻辑的方式运用经 验、洞察力和直觉。也许层次分析法最大的优点是提出了层次本身，它使得选择 的

8、一方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。 3.1.2 建立层次结构模型 将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标 而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）； 最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当 的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。在本题中其目标层的目的 是选择国家综合实力最强的国家，准则层为国民收入、军事力量、科技水平、社 会稳定、对外贸易五块内容，最后的方案层是美、俄、中、英、法、日、德七个 国家。其层次结构模型如图 1 所示。 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 3.1.3 构造成对比较矩阵

9、： 图表一中分三层，即目标层、准则层和对象层。从上图中可以看出，建立 了梯阶层次结构之后，系统内部各层次之间的关系也就随之确定，采用两两重要 性比较的形式建立各准则层指标之间的判断矩阵。比较第 i 个元素与第 j 个元 素相对上一层某个因素的重要性时， 使用数量化的相对权重 aij来描述。 设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。 成对比较矩阵中 aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。aij 在 1-9 及其倒数中间取值。 aij = 1，元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同； aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要； aij = 5，元素 i

10、比元素 j 重要； aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多； aij = 9，元素 i 比元素 j 的极其重要； aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 与 j 的重要性介于 aij = 2n 1 与 aij = 2n + 1 之间； 9 , 2 , 1, 1 =n n aij 当且仅当 aji = n。 成对比较矩阵的特点： jiijiiij aaaa=, 1, 0 备注：当 i=j 时候，aij = 1 3.1.4 一致性检验 从理论上分析得到：如果 A 是完全一致的成对比较矩阵，应该有 kjkj aaa 11 = 一 寸 光 阴 不 可 轻 6 但实际上在构造成对比较矩

11、阵时要求满足上述众多等式是不可能的。 因此退 而要求成对比较矩阵有一定的一致性， 即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的 不一致性。 由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩 阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求： 的绝对值最大的特征 值和该矩阵的维数相差不大。 检验成对比较矩阵A一致性的步骤如下： 计算衡量一个成对比矩阵A （n1 阶方阵）不一致程度的指标 CI： ( ) 1 max = n nA CI （1） 其中 max 是矩阵 A 的最大特征值。 注解: 从有关资料查出检验成对比较矩阵A 一致性的标准 RI （RI 称为平均随机一 致性指标）它只与

12、矩阵阶数有关，如下表所示。 表格 1 平均随机一致性指标 R.I 对照表 矩阵阶数 1 2 3 4 5 R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 按下面公式计算成对比较阵A 的随机一致性比率 CR： RI CI CR = （2） 判断方法如下： 当1 . 0CR时，判定成对比较阵A 具有满意的一致性，或 其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵A，直到达到满意的一致 性为止。 一 寸 光 阴 不 可 轻 7 3.2 问题一 3.2.1 构造目标层的成对比较矩阵 通过对网上收集的数据处理，把专家意见和分析者的客观判断结果直接 而有效的结合在一起，处理得到准则层的各因素相对重要性的两

13、两判断矩阵，即 综合国力的国民收入、军事力量、科技水平、社会稳定、对外贸易的成对比较矩 阵( ) nn ij aA =。其取值可参考 Satty 的提议得到原始矩阵A = 12/72/92/52 7/217/97/47/4 9/29/719/59/4 5/24/74/715/4 2/14/74/94/51 A 3.2.2 计算权向量并做一致性检验 在层次分析法中用正互反阵（即成对比较阵）的最大特征根的特征向量来作 为权向量，用最大特征根定义一致性指标（1）式进行一致性检验。众所周知， 用高等代数中的定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的， 特别是矩阵阶 数较高的时候；另一方面，因为在前面成

14、对比较矩阵A通过近似后得到的矩阵是 比较粗超的，对它做精确计算是不必要的，所以完全可以用简便的近似方法计算 其特征根和特征向量，在本文中通过和法1来计算A的特征之和特征向量。其计 算方法如下： （1）首先，将A的每一列向量进行归一化处理，得 = = n i ijijij aaw 1 = 15 . 35 . 45 . 22 29. 0129. 157. 057. 0 22. 078. 0156. 044. 0 4 . 075. 175. 118 . 0 5 . 075. 125. 225. 11 w （2）对 ij w 按行求和可以得到每一行的和组成的一个列向量 n w w 1 ， 其中， ni

15、ww n j iji ,.,2 , 1, 1 = = 一 寸 光 阴 不 可 轻 8 ()072. 2568. 0460. 0864. 0036. 1 =w （3）将 i w 归一化 = = n i iii www 1 / ，那么()T n wwww 21 =即为近似特 征向量，()T A w4144. 01135. 00821. 01728. 02072. 0=。 （4）最后，计算出特征根的近似值， () 0007. 5 1 1 = = n i i i w Aw n 这个方法实际上是将A的列向量归一化后取平均值，作为A的特征向量。因 为当A为一致阵时它的每一列向量都是特征向量， 所以， 若A的不一致性不严重， 则取A的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。 在计算出A的特征根和特征向量后根据 3.1.4 中的一致性检验来检验A是否 满足一致性。经过附录中的 Matlab 程序 1 特征值特征向量求解和程序 2 A、 1 B、 2 B、 3 B、 4 B、 5 B矩阵的一致性检验得到其运行结果： A的特征根为 0007.