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1、1,极限存在准则,两个重要极限,小结 思考题 作业,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第一章 函数与极限,2,1. 夹逼准则,证,准则,满足下列条件:,一、极限存在准则,如果数列,那末数列,的极限存在,且,3,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数,的极限.,5,例,解,由夹逼定理得,6,注,利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x),和h(x)即可.,7,2. 单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,单调有界数列必有极限.,单调有界,有极限,有界,8,例,证,极限存在.,显然
2、,(1),是单调增加的;,(2),是有界的;,存在.,9,(舍去),(3),极限存在.,解得,10,准则,单调并且有界,设函数 f (x)在点 x0的某个右邻域内,则f (x)在点 x0,右极限,必定存在.,单调有界数列必有极限.,函数极限也有类似的准则.,对于自变量的,不同变化过程,准则有不同的形式.,11,(1),作为准则 的应用,二、两个重要极限,12,即,夹逼定理,该极限的特点:,13,?,一般有,问,正确,14,例,例,例,例,15,练习,解,16,解,由于,以及,夹逼定理,17,(2),作为准则 的应用,现证明数列xn单调增加,按牛顿二项公式,有,且有界.,18,类似地,显然,是单
3、调增加的;,19,无理数,单调有界数列必有极限,是有界的;,20,当x实数趋向 或 时,因此,中的底就是这个常数,或,的极限都存在且等于,函数,可证明,指数函数,以及自然对数,21,“以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的 倒数,其极限为数e”.,该极限的特点:,(2) 括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.,若极限呈,但第二个特点不具备,通常凑指数幂使(2) 成立.,这个重要极限应灵活的记为:,则,一般有,22,问,?,正确解法,则,由于当,故,从而原式,23,例,例,例,例,24,例,例,解,原式=,25,1. 选择题,D,练习,C,26,A,解,或,27,2. 两个重要极限,夹逼准则;,单调有界准则 .,三、小结,1. 极限存在准则,),(,x,j,28,思考题,1. 求极限,2. 求极限,3. 2002年考研数学二, 8分,29,思考题解答,2. 原式=,30,解,均为正数,故,设,则,由数学归纳法知,对任意正整数,均有,因而数列,有界.,3. 2002年考研数学二, 8分,31,又当,因而有,即数列,单调增加.,由单调有界数列必有极限知,存在.,两边取极限,得,解之得,(舍去).,32,作业,习题1-6 (55页),1.(1) (3) (5) (6) 2. 4.(2) (4) (5),
