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1、1,第三章,导数和微分,2,第一节 导数的概念,一、导数的背景-两个引例,1、切线问题,割线的极限位置切线位置,播放,3,5,2、直线运动的瞬时速度问题,取极限得,瞬时速度,6,解,所以,例2,7,二、导数的概念和导函数,定义,8,导数定义形式一,导数定义形式二,得到导数定义的第二种形式：,也可记为,9,的变化的快慢.,它表示函数值的变化相对于自变量,变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率，功率就是所作的功对于时间的变化率，等等.,这样,曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐
2、标的变化率，,速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率.,10,11,用定义求导数举例,步骤:,例3,解,即,12,例4,解,更一般地,例如,即,13,例5,解,即,特别地,14,例6,解,即,15,导数的几何意义,切线方程为,16,例7,解,所求切线方程为,17,例8,解,所求切线方程为,或,或,18,三、单侧导数,2、右导数：,1、左导数：,19,例9,解,20,例10,解,21,四、函数可导与连续的关系,定理 函数在可导点处必连续.,证,22,例如,注意: 该定理的逆定理不成立.,23,例如,(或称导数无穷大),注意:,此时存在铅直切线。,24,例如,不存在，,但,25,例11,解,26
3、,小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续: 一定不可导.,连续:,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,27,练习：,P105 习题三,28,END,END,29,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,30,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,31,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,32,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,33,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,34,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,35,2.切线问题,
4、割线的极限位置切线位置,36,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,37,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,38,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,39,第二节 求导法则,证,注: 可推广到有限多个函数的和与差。,一、导数的四则运算法则,40,证,41,证略.,特别,推论,证,42,例1,43,例2,解,类似可得,即,44,例3,解,类似可得,即,45,例4,解,例5,解,46,二、反函数的求导法则,定理,即 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.,47,例6,解,所以,特别，,48,例7,解,类似可得,49,三、复合函数求导法则,定理,解,证略,50,推广,例8,解,51,例9,解,
5、例10,解,52,例11,解,例12,解,53,例13,解,54,例14,解,55,训练：求导数,实际上，,56,例15,设 f 可导，求下列函数的导数：,解,1.,2.,3.,抽象函数求导:,57,隐函数求导法,问题: 隐函数能否不经显化而直接求导 ?,58,例16,解,比较：,59,例17,解,60,训练：,解 (1),方程两边关于x求导,(2),先变形为,再两边关于x求导,61,对数求导法,观察函数,方法：,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,62,例18,解,等式两边取对数得,注意：,63,例19,解,等式两边取对数得,或解,64,例20,解,65,例
6、21,解,等式两边取对数得,66,练习：,P105 习题三,67,第三节 基本导数公式,68,例1,求下列函数的导数：,1.,2.,解,解,69,3.,解,70,4.,解,5.,解,71,解,这是抽象函数求导，,例2,注意：,72,例3,解,73,解,例4,两边取对数，,两边关于x求导,得,74,证,另一结论类似可证.,例5 证明：,(1) 可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数；,75,证,例5 证明：,(1) 可导奇函数的导数是偶函数；可导偶函数的导数是奇函数；,76,练习：,P105 习题三,77,第四节 高阶导数,问题:变速直线运动的加速度.,78,解,例1 求下列函数的二
7、阶导数：,(1),(2),(3),(4),79,例2,解,80,例3,解,81,例4,解,82,例5,解,代入得,83,例6,解,求 n 阶导数,84,例7,解,类似可得,思考：,归纳可证,85,例8,解,归纳可证,再如,86,例9,解,87,常用n阶导数公式：,(n不为正整数),88,练习：,P105 习题三,89,第六节 函数的微分,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,一、微分概念,90,再如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有? 它是什么? 如何求?,91,定义,92,由定义知:,93,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性
8、,94,所以导数也称为“微商”.,95,二、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),以直代曲,96,例1,解,所以,例2,解,97,三、基本微分公式,98,三、基本微分公式,99,四、微分法则,1、函数和、差、积、商的微分法则,例如，从函数的商的求导法则,100,结论：,2、复合函数的微分法则,此性质称为一阶微分的形式不变性.,101,例3,解法1,解法2,分析,微分的计算：计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,也可利用复合函数的微分法则。,102,例4,解,例5,解,103,例6,解,104,例7,抽象函数微分法：,解,例8,解,105,例9,解,隐函数微分法：,两边微分，,例10,
9、解,两边微分，,106,训练：,解,方程两边同时求微分得,代入得,107,例11,解,五、微分在近似计算中的应用,108,例12,解,109,常用近似公式,(1) 证,110,例13,解,注意:上述近似公式均要求,111,练习：,P105 习题三,112,第六节 导数和微分在经济学中的简单应用,一、经济学中常用的几个函数,1.成本函数,平均成本函数,2.需求函数,AC,113,3.收益函数,平均收益函数,4.利润函数,总利润函数,revenue,114,二、边际分析,marginal,MC,MR,115,例1,例2,解,说明：,生产某产品x单位的总成本为,则生产单位时的边际成本为,说明：,11
10、6,三、弹性分析,边际函数反映的是函数的变化率，而函数的弹性则反映的是函数的相对变化率。,前面所谈的函数改变量和函数变化率是绝对改变量和绝对变化率，但仅仅研究函数的绝对改变量和绝对变化率是不够的。,例如，商品甲每单位价格10元，涨价1元；商品乙每单位价格1000元，也涨价1元。两种商品价格的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%，而商品乙涨了0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改变量和相对变化率。,117,例如：,118,Elasticity,计算公式：,经济意义：,119,例3,解,例4,解,称幂函数为不变弹性函数。,120,例5,解,121,练习：,P105 习题三,
