《第五节二阶常系数线性微分方程1教学讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五节二阶常系数线性微分方程1教学讲义（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一阶线性方程,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,常数变易法,复习:,第五节 二阶常系数线性微分方程,内容提要 1. 二阶常系数齐次线性微分方程； 2. 二阶常系数线性微分方程解的结构. 3. 二阶常系数线性微分方程的解法. 教学要求 1. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 2. 了解二阶常系数线性微分方程解的结构. 3. 掌握二阶常系数线性微分方程的解法.,形如,（1）,称为二阶线性微分方程.,称为二阶齐次线性微分方程.,称为二阶非齐次线性微分方程.,（2）,一、二阶线性微分方程的概念,证毕,问题:,例如,例如,线性无关,线性相关,定义:,例如,线性无关,例如,2.二阶非齐次线性方程的解
2、的结构:,证明,证毕,说明:若求 的通解,则 的通解为,解的叠加原理,该定理的证明(P140),1、定义,1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式,2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,三、 二阶常系数线性微分方程的解法,(p,q为常数),(p,q为常数),2、二阶常系数齐次线性方程的解法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,(p,q为常数),是方程的解., 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解：,得齐次方程的通解为,设特征根为,如,特征方程为, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,如,特征方程为, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,设特征根为,如,
3、特征方程为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,总之,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解得,故所求特解为,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,复习,对应齐次方程,通解结构,f(x)常见类型,难点：如何求特解y*？,方法：待定系数法.,二阶常系数非齐次线性方程的解法,(P,q为常数),设非齐方程特解为,代入原方程,一、 型,综上讨论：非齐次方程,的通解y*可以设
4、为：,特别地,B是待定常数,特别地,（A是常数）,解,特征方程,例1,比较系数，得,解,特征方程,代入方程, 得,例2,C,D是待定常数.,A,B,是常数,以上的推导过程省略,只要求我们会用它.,的特解y*可设为：,解,特征方程为,所求非齐方程特解为,例3,这里,解,特征方程,代入原方程,所求非齐方程特解为,原方程通解为,例4,对应齐次方程的通解,解,特征方程,例5,请设出下列方程的一个特解：,二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,三、小结,例6,解,人死后体温调节功能消失，尸体温度T(t)受外界环境的影响，服从牛顿冷却定理.,故张某不能被排除在嫌疑犯之外.,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,二阶常系数线性 方程解的结构,二阶常系数线 性齐次方程的解,f(x)的形式及 二阶常系数非齐次 线性方程的解,二阶方程,待定系数法,特征方程法,本章主要内容,注意:,
