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1、 复旦托业 训中心 1、概述 曲面造型 (计算机辅助几何设计 (计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由 大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理 B 样条曲面 (数化特征设计和隐式代数曲面 (示这两类方法为主体，以插值 (逼近 (二种手段为骨架的几何理论体系。 1发展历程 形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决
2、的问题。曲面造型的目的就在如此。 1963 年美国波音（ 机公司的佛格森（ 早引入参数三次曲线（三次 ，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。 复旦托业 训中心 2仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964 年，美国麻省理工学院（ 孔斯（ 四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一张曲面， 线曲面只是 线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在
3、形状控制与连接问题。 1964 年，舍恩伯格（ 出了参数样条曲线、曲面的形式。 1971 年，法国雷诺（ 车公司的贝塞尔（ 表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。 但当构造复杂曲面时， 法仍存在连接问题和局部修改问题。 同期，法国雪铁龙（ 车公司的德卡斯特里奥（ 独立地研究出与 1972 年，德布尔（ 出了 B 样条的标准计算方法。 1974 年，美国通用汽车公司的戈登（ 里森费尔德（ B 样条理论用于形状描述，提出了 B 样条曲线和曲面。这种方法继承了 法的一
4、切优点，克服了 法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展， B 样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。 1975 年，美国锡拉丘兹（ 学的佛斯普里尔（ 出了有理 B 样条方法。 80 年代后期皮格尔（ 蒂勒（ 有理 B 样条发展成非均匀有理 B 样条方法（即，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。 法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学
5、形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现； 法是非有理 B 样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理 B 样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于 线曲面，便于继承和发展。 由于 法的这些突出优点，国际标准化组织 ( 1991 年颁布了关于工业产品数据交换的 际标准， 将 法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法， 从而使 复旦托业 训中心 32基本概念 曲线、曲面的显式、隐式、参数表示 曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。 显式： 形如 z f（ x， y）的表达式。对于一个平面曲线，显式表示一般形式是： y=f（
6、 x）。在此方程中，一个 x 值与一个 y 值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。 隐式 ：形如 f（ x， y， z） 0的表达式。如一个平面曲线方程，表示成 f（ x， y） =0 的隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数 f（ x， y）是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。 参数表示： 形如 x f（ t）， y f（ t）， z f（ t）的表达式，其中 t 为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。 如平面曲线上任一点 P 可表示为： P(t) = x(t), y(t)； 空间曲线上任一三维点 P
7、可表示为： P(t) = x(t), y(t), z(t)；如图： 最简单的参数曲线是直线段，端点为 直线段参数方程可表示为： P(t) = ( t t 0, 1; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：其参数形式可表示为： 参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。其优势主要表现在： （ 1）可以满足几何不变性的要求，坐标变换后仍保持几何形状不变 （ 2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： 只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为 ： 有 8 个系数可用来控制
8、此曲线的形状。 （ 3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对其每个型值点进行几何变换，不能对其方程变换（因 不满足几何变换不变性 ）；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 （ 4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 复旦托业 训中心 4（ 5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。 （ 6）规格化的参数变量 t 0, 1，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （ 7）易于用矢量和矩阵表示几何分量
9、，简化了计算。 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 （见高等数学） 插值、逼近、拟合 插值： 给定一组有序的数据点 i=0, 1, , n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。 逼近： 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 拟合： 插值和逼近则统称为拟合（ 。 光顺、连续性 光顺： 通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光顺的条件是： a）具有二阶几何连续性 ( b）不存在多余拐点和奇异点； c）曲率变化较小
10、。 连续性： 设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题，即为连续性问题。 曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到 n 阶连续导矢， 即 n 阶连续可微， 这类光滑度称之为 C n或 n 阶参数连续性。 另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于 C 为具有 n 阶几何连续性，简记为 G n。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾， 对于上图所示二条曲线 P(t) 和 Q(t)，参数 ，若要求在结合处达到 0连续，即两曲线在结合处位置连续： P(1) = Q (0) 。 若要求在结合处达到 是说两条
11、曲线在结合处在满足 有公共的切矢： （ 1 1） 当 时， 1连续。 复旦托业 训中心 5若要求在结合处达到 是说两条曲线在结合处在满足 有公共的曲率矢： （ 1 2） 代入 (1 1)得： 这个关系为： (1 3) 即 Q”(0)在 P”(1)和 P(1)确定的平面内。 为任意常数。当 ， 时， 2连续。在弧长作参数的情况下， 2连续， 2连续，但反过来不行。也就是说 C 3简单代数曲面 简单代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求。 复旦托业 训中心 6二、定义 给定空间 n+1 个点的位置矢量 i=0， 1， 2， ， n），则 数曲线上各点坐标的插值公式是： 将其写成
12、矩阵表达形式为： P（ t） .)(.)()(10,1,0其中， 线的特征多边形， Bi,n(t)是 n 次 函数： 注意：约定 0 = 1, 0! = 1 n=0, (t) = 1 n=1, (t) = 1 (t) = t n=2, (t) = (1(t) = 2t(1 (t) = , (t) = (1(t) = 3t(1(t) = 31 (t) = 如图所示是一条三次 线实例，即 n 3 。 图 三次 线 对于三次 线，其表达式为 )()(3,30= t0,1 式中： (t) = (1 ， (t) = 3t(1， (t) = 3 (t) = P（ t） (t) (t) (t) (t) 复旦托业 训中心 7
