《第07章-1节重积分的概念及计算课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第07章-1节重积分的概念及计算课件（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第七章 重积分,7.2 二重积分的计算法,利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。,2,7.2.1 利用直角坐标计算二重积分,设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。,如何求该曲顶柱体的体积呢？,1、曲顶柱体的体积- 二重积分的几何意义,3,(1)分割 用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2 , , n ，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲
2、顶柱体分割成n个细曲顶柱体。,4,(2) 近似 当这些小区域的直径di很小时，由于 f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体,5,由二重积分定义立即得到,这也是二重积分的几何意义。,6,2、用几何观点讨论二重积分的计算法,应用 “定积分”中求“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积。,(1)设f (x,y) 0，f(x,y)在D上连续。,X型,7,在区间a,b上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x = x0。,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 1(x0), 2(x0)为底、曲线z =f (x0,y)为曲边的
3、曲边梯形，其截面面积为：,先计算截面面积。,8,一般地，过区间a,b上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：,于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为,这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式,9,上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。,就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到 2(x)的定积分；,再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间a,b上的定积分。,这个先对y、后对x的二次积分也常记作,10,Y型,D,D,11,计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，,在区间1(y) x 2(
4、y)上对x积分,得到一个关于y的函数,再在区间c y d上对y积分,。,这就是把二重积分化为先对x 、后对 y的二次积分的公式。,12,应用公式(1) 时，积分区域必须是X型区域。,应用公式(2) 时，积分区域必须是Y型区域。,X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点。,Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点。,13,若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，D，此时要将积分区域D分成几部分，使得每一部分是X型区域或Y型区域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。,若积分区域D既是X型区域也是Y型区域，则。,这表明二次
5、积分可以交换积分次序。,14,3、二重积分计算的一般方法,要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。,化为两次单积分,(1) 作图，确定D的类型。,(2) 选定积分顺序。,(3) 定出积分上下限。,(4) 计算定积分。,确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的特点而定的。,要使两次积分都能“积得出”，“易积出”。,15,解 画出积分区域D如图所示。,既是X型，又是Y型的。,16,y,17,解 首先画出积分区域D的图形。,(1) 如先积y后积x，则有,18,19,(2) 如先积x后积y，则有,评注 本例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时既要考虑区域D的形状，又要考虑函数f(x,y)的特性。,20,4、交换积分顺序,由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式表示并画出积分区域的草图,由积分区域按新的积分顺序确定积分限。,例3 交换以下积分的积分顺序,21,D1,D2,22,课内练习一 改变以下二次积分的积分次序,23,24,
