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1、前情提要,四则运算 共轭, 模 三角形式, 指数形式 乘积(商, 乘幂)的模和辐角, 方根 邻域 区域 简单(闭)曲线 单连通域, 多连通域 复变函数 (一元? 二元?),第一章.掌握,概念 基本运算 复平面和二维实平面上的方程(或函数)转换. z与(x,y): f(z) - F(x,y) xoy平面映射到uov平面. (x,y)z -w=f(z)- wuov,作业讲解,p.32. 12(3),1解析函数的概念,一、复变函数的导数与微分 1、导数的定义 2、例题： 例1；例2 3、连续、导数、微分 二、解析函数的概念 1、定义 2、例题： 例3；例4 3、定理,返回,返回,1、导数的定义：,注
2、: f为复值函数, F为实值函数,解：,返回,例1 设,例2 证明 在任意点处不可导。,所以导数不存在。,Proof:,返回,3. 连续、可导、可微,在点0的微分,与一元函数一样,，因此可导与可微是等价的。,可导必定连续，连续不一定可导。,与一元函数一样。,返回,定义,解析函数（全纯函数、正则函数）。,返回,例3讨论下列函数的解析性，可导性。,2、,1、,3、,解：,4、,返回,解（1）,（2）设,例4 证明 在 处可导，但不解析。,返回,2 解析函数的充要条件,一、预备定理 1、定理1 2、例题：例1 二、解析函数的充要条件 1、定理1 2、定理2 3、例题：例2，例3，例4,返回,1、定理
3、1 (必要条件)设,在区域D内有定义，,，or ，,且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件：,且在点z处可导，则,返回,下一页,Proof:,在处可导，则:,下一页,上一页,注: 可导, 则沿任意方向的导数相同,：,沿y轴方向,沿x轴方向,返回,上一页,2、定理1的逆不一定成立，即f(z)在z处满足C-R条件但不一定可导。例1验证 在 处满足C-R条件，但不可导。,Proof:令,所以,同理,即满足C-R条件；,所以不存在。,返回,1、定理2,在区域内有定义，则,在内一点处可导的充要条件是,设：,返回,在内解析的充要条件是,在内可微，,且满足C-R条件。,注: D内解析等同于D内
4、可导,注: 复变函数在某点(区域内)的可微性 等同于 对应的两个二元实函数在的可微性 外加CR,例2 用C-R条件判断函数 的解析性。,由C-R条件，,解：,所以处处不解析。,返回,注: 上节已有用定义判断的相同例子.,例3判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。,解：,（1）,由：,下一页,（2）,解：方法一、,除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处处解析。,上一页,下一页,方法二,除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处解析。,解：,由C-R条件有,返回,上一页,例4若在D内处处为0，则在D内为一个常数。,所以u,v关于x为常数,所以u,v关于y为常数,Proof:,作 业,作业,P66 2(1,3) 3(1,3) 4(1) 8 10(1),返回,
