《{电子公司企业管理}数字电子技术基础第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《{电子公司企业管理}数字电子技术基础第二章（116页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 逻辑代数基础,数字信号取值： 数字信号位数：,0和1不表示数值的大小，没有数值的概念，仅表示两种截然不同的逻辑状态,0和1两种。 即用二进制表示。,1位二进制表示 2 种状态； n位二进制表示 2n种状态,取2n N,例： 灯的开关2种取值1位二进制数 人的性别2种取值1位 学生的民族56种取值6位 (26 = 64 56) 东西南北方位4种取值2位 产品的计数N种取值 n位，2nN,2.1概述,（1）与运算和与门,例：串联开关电路,三种基本逻辑运算-与、或、非,1.基本逻辑运算及其表示方法,A、B、C都具备时，事件F才发生。,设,与逻辑,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,F=AB=A
2、B,逻辑表达式,逻辑状态表,全1出1,有0出0,逻辑符号,若开关数量增加，则逻辑变量增加。,YA B CABC,Application Example,与门可以作为控制门（开关）,计数器,A,1s,复位为 0,频率计的原理框图,A、B、C只有一个具备时，事件F就发生。,或逻辑,（2）或运算和或门,例：并联开关电路,设,F=A+B,逻辑表达式,逻辑状态表,全0出0,有1出1,逻辑符号,Application Example,Alarm circuit,监测门/ 窗开的传感器,HIGH=OPEN LOW=CLOSED,若开关数量增加，则逻辑变量增加。,F=A+B+C,开关与灯并联电路,（3）非运算
3、和非门,A具备时 ，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。,非逻辑,设,逻辑表达式,逻辑状态表,有1出0,有0出1,逻辑符号,在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。,（1） 与非运算,逻辑表达式： YABC,与非逻辑的真值表,“有0出1，全1出0”,2.复合逻辑运算,“与”和“非”的复合运算称为与非运算。,Application Example,The sensors produce a 5V level when the tanks are more than one-quarter ful
4、l. When the volume of chemical in a tank drops to one-quarter full, the sensor puts out a 0 level.,（2） 或非运算 “或”和“非”的复合运算称为或非运算。,逻辑表达式： YA+B+C,或非逻辑的真值表,“有1出0，全0出1”,（3） 与或非运算 “与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。,逻辑表达式： YAB+CD,（4） 异或运算 所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1。,异或逻辑的真值表,“相同为0，相异为1”,逻辑表达式： Y = AB = A B +
5、 A B 式中符号“”表示异或运算。,（5） 同或运算 所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。,同或逻辑的真值表,“相同为1，相异为0”,逻辑表达式： Y = AB = A B + A B = AB 式中符号“”表示同或运算。,同或是异或的非,A 0 =0 A=0 A+1=1 A+0=A A 1=A,(1),0-1律,自等律,互补律,重叠律,还原律,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.3.1 基本公式,所以，可以得到以下逻辑运算：,逻辑代数的基本定律,交换律,结合律,分配律,A+B=B+A,A B=B A,A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B,
6、A (B C)=(A B) C,A(B+C)=A B+A C,A+B C=(A+B)(A+C),A+AB=A,证明：,A+AB=A(1+B)=A1=A,利用运算规则可以对逻辑式进行化简。,例如：,被吸收,吸收律,（原变量的吸收）,（反变量的吸收）,证明：,例如：,吸收律,AC,（混合变量的吸收）,吸收律,例如：,可以用列真值表的方法证明：,反演律（摩根定理）,思考：三个变量时是否成立？,同或: A BA B A B,变量相异为1,反之为0,变量相同为1,反之为0,两种常用的运算,？,请注意与普通代数的区别！,AB=AC,A+B=A+C,f (A1, A2, , An)f (A1, A2, ,
7、An)1,将逻辑等式中的某一个逻辑变量全部用同一个逻辑函数代替，则逻辑等式仍然成立。,例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即： (A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C 由式 (A+A=1) ，故同样有等式：,1、 代入定理,运算优先顺序：首先算括号，其次算非运算， 再次是与运算，最后是或运算。,2.4 逻辑代数的基本定理,F(A+B) (C+D),例1： 已知FABCD，根据反演规则可得到:,2、 反演定理,如果将逻辑函数F中所有的“ ”变成“+”；“+”变成“ ”； “0”变成“1”； “1”变成“0”； 原变量变成反变量；反变量
8、变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数 。,例2：已知,例3：已知,长非号不变,与变或时要加括号,不能破坏原表达式的运算顺序。,不属于单变量的非运算符号应当保留不变。,如果将逻辑函数F中所有的“ ”变成“+”； “+”变成“ ”；“0”变成“1”； “1”变成“0”； 则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F*。如果F*是F的对偶式，则F也是F* 的对偶式，即F与F*互为对偶式。,例:,3、 对偶定理,不能破坏原表达式的运算顺序。,表达式中的非运算符号也不能改变。,推理：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F* 和G* 也相等。,例: 证明包含律：(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B) (A
9、+C),证: 已知 AB A CBC =ABAC,等式两边求对偶：(A+B)(A+C)(B+C)= (A+B) (A+C),利用对偶定理,可以通过证明两个逻辑式的对偶式相等，从而很容易地证明这两个逻辑式相等。,逻辑代数开关代数布尔代数。,用来解决数字逻辑电路的分析与设计问题。,在逻辑代数中，参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，一般用大写字母A，B表示。,1.逻辑变量,每个变量的取值为0或1（二值变量）。 0、1不表示数的大小，而是代表两种对立的逻辑状态，如电位的高低、开关的开合、灯的亮灭等。,2.5 逻辑代数及其表示方法,2.5.1 逻辑函数,在一种逻辑关系中，当输入变量的取值确定后，输出的取值也随
10、之确定，因此输入与输出之间是一种函数关系，记作：,数字系统中输入与输出之间的逻辑关系都可以用一个逻辑函数来描述。,2.逻辑函数,A、B、C为自变量；F为因变量,例：举重裁判电路中， A为主裁判开关，B、C为副裁判开关，F为指示灯。 电路功能：当主裁判开关闭合，同时至少有一名副裁判开关闭合，指示灯才会亮，表示成功。,若以1表示开关闭合，0表示开关断开；1表示灯亮，0表示灯不亮，则A,B,C的不同取值，对应F的不同取值。 即F是ABC的函数，F=F(A,B,C),表示逻辑函数的方法有：真值表，逻辑式，逻辑图，波形图， 卡诺图，硬件描述语言等。,1、逻辑函数式,BC中至少有一个闭合，可表示为：B+C
11、,同时还要求A闭合，可表示为：A(B+C),故：Y=A(B+C),优点：便于运算、化简和画逻辑图； 缺点：不便从逻辑问题直接得到。,举重裁判的逻辑式：,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，称为逻辑函数式，我们通常采用“与或”的形式。,2.5.2 逻辑函数的表示方法,2、逻辑图,举重裁判函数的逻辑图：,特点：便于用电路实现。,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。,3、逻辑真值表,将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,表格的左侧是输入变量的所有取值组合，右侧是每一组输入变量的组合对应的输出变量的值，即函数值。,注意：完整列出所有的输入变量的组合。,
12、A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1,当输入变量个数为n时，真值表共有2n行。,举重裁判的真值表：,优点：描述逻辑问题方便、 直观； 缺点：较繁琐。,4、波形图（时序图）,将逻辑函数的输入变量每一组可能的取值与其对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了表示该逻辑函数的波形图。,举重裁判的波形图：,通常在一些计算机仿真工具和逻辑分析仪中，利用波形图得到分析结果。,优点：描述逻辑问题方便、直观； 缺点：较繁琐。,5、各种表示方法之间的互相转换,转换方法：将输出为1对应的乘积项（最小项）相或
13、。 1原变量；0 反变量,（1）由真值表转换到与或表达式,（2）由逻辑表达式转换到真值表,第一步：把逻辑表达式中变量的各种取值组合有序地添入真值表中；（有n个变量时，变量的取值组合有2n个）,A,B,F,0,1,1,0,第二步：计算出变量的各种取值组合对应的函数值，并填入表中。,A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1,例：已知逻辑式如下，求真值表。,例：,方法：将运算符号转换成图形符号,Y,（3）逻辑表达式转换为逻辑图,（4） 逻辑图转换为逻辑表达式,方法：将图形符号转换成运算符号,整理，得
14、：,（5） 波形图转换为真值表,A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1,将真值表中所有输入变量和对应的输出函数取值 依次画成以时间为横轴的时序图。,从波形图上找出每个时间段里输入变量与输出变量的取值，然后对应列表。同一种组合状态不要重复出现。,最小项之和和最大项之积,1.最小项和最大项,(1)最小项（ Minterm ）,二、 逻辑函数的两种标准表达式,若乘积项中所有的输入变量只出现一次，则这一乘积项称为最小项。输入变量以原变量或反变量的形式出现。,n个输入变量的最小项共有2n个。,例：A、
15、B、C三个变量的最小项共有8个：,逻辑相邻,逻辑相邻的项可以 合并，消去一个因子,若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变量都相同，则称它们为逻辑相邻（ Logic Adjacency ）。,最小项的编号,最小项的性质,在输入变量的任何取值下，必有一个最小项，而且只有一个 最小项的值为1,任意两个最小项的乘积为0,全体最小项之和为1,具有逻辑相邻特性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一个因子,例：,第条是卡诺图化简的根据,（2） 最大项（ Maxterm ）,例：A、B、C三个变量的最大项共有8个：,n个输入变量的最大项共有2n个。,若求和项中所有的输入变量只出现一次，则这一求和项称为最
16、大项。输入变量以原变量或反变量的形式出现。,最大项的性质,在输入变量的任何取值下，必有一个最大项而且只有一个 最大项的值为0,任意两个最大项之和为1,全体最大项之积为0,只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和,例：,m0,m1,M0,M1,最大项和最小项的关系,（1）逻辑函数的最小项之和的形式：标准与或式,例1：,任何的逻辑表达式都可以写成最小项之和的形式。,变换形式：,还可写成：,2.逻辑函数的标准形式,例2：,由一般表达式直接写出最小项表达式,例：函数 F=AB + AC,所以: F=m(1,3,4,5),（2）逻辑函数的最大项之积的形式：标准或与式,推导：,设：,(全体最小项之和为1),任何的逻辑表达式都可以写成最大项之积的形式。,反演规则,例：由最小项和的形式，求最大项积的形式,以最小项之和的形式表示的函数可以转换成最大项之积的形式，反之亦然。,= m(2, 3, 6, 7),F(A,B,C)= m(0, 1, 4, 5),=(
