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1、椭球面元素归算至投影面高斯投影,测绘工程系,一、长度比,5.1 高斯投影概述,或者,长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。,高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影。 高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss，1777 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger，18571923)加以补充完善，故又称“高斯克吕格投影”，简称“高斯投影”。,二、高斯投影的基本概念,(1)中央子午线投影后为直线，且长度不变。 (2)除中央子午线外，其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线为对称轴。投影后有长度变形。 (3)赤道线投影后为直线，有长度变形 (4)除赤道
2、外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。 (5)经线与纬线投影后仍然保持正交。 (6)所有长度变形的线段，其长度变形比均大于l。 (7)离中央子午线愈远，长度变形愈大。,赤道,中央子午线,平行圈,子午线,O,x,y,我国规定按经差6和3进行投影分带。 6带自首子午线开始，按6的经差自西向东分成60个带。 3带自1.5 开始，按3的经差自西向东分成120个带。,高斯投影带划分,6带与3带中央子午线之间的关系如图:,3带的中央子午线与6带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。,工程测量采用3 带 特殊工程可采用1.5 带或任意带,按照6带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3
3、，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6N3 （N为6带的带号） 例：20带中央子午线的经度为： L。6 203117 按照3带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3n （n为3带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。3 120360 ,若已知某点的经度为L，则该点的6带的带号N由下式计算： 若已知某点的经度为L，则该点所在3带的带号按下式计算： （四舍五入）,x轴 中央子午线的投影 y轴 赤道的投影 原点O 两轴的交点,O,x,y,P,（X，Y）,高斯自然坐标,注：X轴向北为正， y轴向东为正。,赤道,中央子午线,4、高斯平
4、面直角坐标系的建立,由于我国的位于北半球，东西横跨12个6带，各带又独自构成直角坐标系。 故：X值均为正， 而Y值则有正有负。,为了免出现负的横坐标，在横坐标上加上500 000m。此外还在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。 例如：有一点Y = 19 123 456. 789m，该点位在19带内，其相对于中央子午线的坐标y=376 543. 211m。 为了把各带联成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一6带向东加宽30，向西加宽15或7.5. 这样在带边缘，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网。保证了控制点间的互相应用，地图的顺利拼接和使用。,例：有一国
5、家控制点的坐标: x=3102467.280m ,y=19367622380m， （1）该点位于6 带的第几带？ （2）该带中央子午线经度是多少？ （3）该点在中央子午线的哪一侧？该点距中央子午线和赤道的距离为多少？,（1）第19带,（2）L。=619-3=111,（3）y367622.380-500000-132377.620m，在西侧）,（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）,三、椭球面三角系化算到高斯平面,椭球面内（中央子午线ON，赤道OE） 三角网PKTMQ： 起始点P大地坐标（B,l），l=L-L0， L、L0分别为P和轴子午线的大地经度； 起始边PK
6、=S； 起始边的大地方位角APK ； PC为垂直于中央子午线的大地线，C点大地坐标（B0,l =0）； PP1为过P点平行圈，P1点的大地坐标（B,l =0）； X为赤道至纬度B的平行圈子午弧长。,三、椭球面三角系化算到高斯平面,高斯投影面上： 中央子午线和赤道分别为直线ON 及OE ， 其他子午线和平行圈均变为曲线。 PN是PN的投影，P P 1是PP1的投影； P的直角坐标为（x,y）； 因是等角投影，大地方位角APK投影后没有变化。 三角形投影后变为边长si的曲线三角形(长度大于椭球面上的边长)，且曲线都凹向纵坐标轴;,1、椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析,（1）投影后需用连接各点间
7、的弦线来代替曲线。为此，必须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正； （2）根据始点P的大地坐标B,L计算其平面坐标的坐标正算公式； （3）反算公式；,1、椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析,（4）确定平面三角形各边坐标方位角a。,（5）确定平面三角形各边长。,(1)高斯投影坐标计算 将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；根据（x,y）反算（B,L）。 (2) 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。 (3)通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。 (4)
8、通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。 (5)控制网跨越两投影带时，需要进行平面坐标的邻带换算。,2、将椭球面三角系化算到高斯投影面的主要内容,将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离改正和子午线收敛角等项计算工作。,第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B, L）求（x、y）; 第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（B, L）。,5.2 高斯投影坐标正反算,一、高斯投影坐标正算公式,高斯投影必须满足以下三个条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。,(1)在经差小于3.5时，精度为0.1m,(
9、2)扩展到精度0.001m的公式：,所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线的大地经度之差,二、高斯投影坐标反算公式,投影方程,x坐标轴投影后为中央子午线,是投影的对称轴； x坐标轴投影后长度不变； 投影具有正形性质。即高斯面上的角度投影到椭球面上后角度没有变形，仍然相等。,投影函数1、2应满足以下三个条件：,首先根据x计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度Bf，接着按Bf计算(Bf-B)及经差l,最后得到,反算公式的推导方法的基本思想：,1.高斯投影坐标反算基本思想,2. 精度为0.0001的高斯投影坐标反算公式,1. 正算实用公式,5.3 高斯投影坐标计算的实用公式,2. 反算实用公式,5.4 方
10、向改化公式,方向改正数就是指大地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。,设地球椭球为一圆球； OD为轴子午线； AB为一条大地线(是球面上一条大圆弧)，投影为曲线ab ； AD、B E是与轴子午线正交点大圆弧，投影分别为垂直于x轴的直线ad和be。,一、方向改化近似公式的推导,方向改化概略数值,误差小于0.1，可适用于三、四等三角测量的计算,由表可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽略。,1)用勒让德尔定理解算球面三角形,1、准备知识,二、方向改化较精密公式的推导,勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。,P为平面三角形的面积。,
11、可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于90km时，这种误差小于0.0005，可忽略。,2)球面角超的计算,设地球椭球为一圆球； AB为轴子午线; 小圆弧P1Q与轴子午线平行，垂直于BQ、AP1，投影为PQ； 大圆弧P1CQ的投影为曲线P1CQ。,2、方向改化较精密公式的推导,该式精确至0.001，适用于一等三角测量计算。,5.5 距离改化公式,由S化至D所加的S改正称为距离改正 .,1)研究平面曲线长度s与其弦线长度D的关系; 2)研究用大地坐标B、L和平面坐标x、y计算长度比m的公式; 3) 导出距离改化的计算公式。,m1,S：大地线长； s：大地线S在
12、高斯平面的投影； D：直线长；,思路：,1、平面曲线长度s与其弦线长度D的关系,v是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可把cosv展开为级数：,式中用v的最大值代替 v,目前，最高的距离测量精度约为10-8，弧线与直线的长度差异完全可以忽略.完全可以认为： 大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度D。,2、长度比和长度变形,长度比m是指椭球面上某一点的微分元素dS，与其投影面上的相应的微分元素ds之比，即：,为长度变形。,1）用大地坐标表示的长度比公式,2）用平面坐标表示的长度比公式,Rm大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球平均曲率半径。,(长度比的近似式),长度比是y坐标的偶函数，且只与
13、y坐标有关。,m随点的位置(B,L)或(x,y)而异，但在一点上与方向无关； 当y=0 (或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的m都等于1，即中央子午线投影后长度不变； 当y0或 l0 时，由于m是y(或l)的偶函数，且各项都为“+”号，故m恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都变长了； 长度变形(m-1)与y2或l2成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。 在同一纬线上(B=常数)长度变形(m-1)随l的增大而增大. 在同一经线上(l=常数)长度变形(m-1)随B的减少而增大，在赤道处(B=0)为最大。,3）高斯投影及长度变形规律分析,3、距离改化公式,当S70km,ym3
14、50km(6带边缘) 计算精度达0.001m，对于一等边长的归算完全可满足要求。,ym取大地线投影后始末两点横坐标平均值,精密公式：,可用于二等边长的归算,4、距离改化的实用计算公式,一等三角网的距离改正的实用公式：,二等三角网的距离改正的实用公式：,三等三角网以下的距离改正的实用公式：,则，距离改化S可表示为：,若边的两端点离中央子午线都不超过45公里，则可简化为：,补充一点,5.6高斯投影的邻带换算,1）位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带的控制，为了能在同一带内进行平差计算，计算前，必须先进行起始坐标统一化换算。,1、换带的原因,一个带的平面坐标换算到相邻带的平面坐标，简称为“邻带换算
15、”。,2)在分界子午线附近测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中； 为实现两相邻带地形图的拼接和使用，在于45( 或37.5)重叠地区的平面控制点需要具有相邻带的坐标值。,3)当大比例尺(1:0 000或更大)测图时,特别是在工程测量中，要求采用3带、1. 5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标,这时就产生了6带同3带(或1. 5“带、任意带)之间的相互坐标换算问题。,邻带方里网： 如图所示：,规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。,2、应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算,实质：,把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:,利用高斯投影的
16、正反算公式，可以进行不同投影带坐标的换带计算。,这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不仅适用于6-6带，3-3带以及6-3带互相之间的邻带坐标换算，且适用于任意带之间的坐标换算。 虽计算量稍大，但由于计算机的普及和本法的通用性及计算的高精度，它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法。,4. 由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x，y。,算步骤：,1. 根据高斯投影坐标 x, y，反算得纬度B和经度差l；,2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度 L = L0 +l；,3. 根据换带后新的中央子午线经度L0 ，计算相应的经差;,算例,在中央子午线 的带中，有某一点的平面直角坐标 ， ，现要求计算该点在中央子午线 的第带的平面直角坐标。,5.7横轴墨卡托投影的概念,墨卡托投影为正轴等角切圆柱投影，是由墨卡托于1569年专门为航海目的设计
