《高中数学苏教版选修21第3章《空间向量与立体几何》（2.3）ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版选修21第3章《空间向量与立体几何》（2.3）ppt课件（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章,空间向量与立体几何,3.2.3空间的角的计算,学习目标 1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题. 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接,1.怎样求两条异面直线所成的角？ 答：(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解. (2)向量法：设a、b分别为异面直线l1、l2上的方向向量，为异面直线所成的角，则异面直线所成角公式 cos |cosa，b| .,2.如何用平面的法向量表示二面角？ 答：设n1、n2
2、是二面角-l-的两个面，的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.,预习导引,1.两条异面直线所成的角 (1)定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，bb，则a与b所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角. (2)范围：两条异面直线所成角的取值范围是0 . (3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则a，b所成角的余弦值为cos |cos | .,2.直线与平面所成的角 (1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角. (2)范围：直线和平面所成角的取值范围是0 . (3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的
3、法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有 sin |cos | 或cos sin .,3.二面角 (1)二面角的取值范围：0，. (2)二面角的向量求法： 若AB，CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角的大小就是向量 与 的夹角.,设n1、n2是二面角-l-的两个面，的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.,要点一求两条异面直线所成的角,例1如图所示，三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1 平面OAB，O1OB60，AOB90，且OB OO12，OA ，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦
4、值的大小.,解建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0)，,规律方法建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围.,跟踪演练1正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.,解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、 DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示 空间直角坐标系， 则A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1，0,2)、F(1,1,2)，,要点二求直线和平面所成的角 例2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 ，M为A1B1的中点，
5、求BC1与平面AMC1所成角的正弦值. 解建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面AMC1的法向量为n(x，y，z).,设BC1与平面AMC1所成的角为，,规律方法借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系.,跟踪演练2如图所示，已知直角梯形ABCD，其 中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，AB BC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的 余弦值.,解由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以 AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空 间直角坐标系(如图所示).,设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，,要点
6、三求二面角 例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角A1BDC1的余弦值.,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，取BD的中点E，连结A1E，C1E.,因为DBA1和BDC1都是正三角形， 所以A1EBD，C1EBD，,规律方法(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.,(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于
7、法向量夹角的补角.,跟踪演练3如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1 的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面 角A-A1D-B的余弦值. 解如图所示，取BC中点O，连结AO. 因为ABC是正三角形，所以AOBC， 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1， 所以AO平面BCC1B1.,又BDBA1B，所以AB1平面A1BD，,1,2,3,4,1.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量，法向量，若cosm，n ，则l与所成的角为_.,解析设l与所成的角为，,则sin |cosm，n| .,30.,30,1,2,3,4,2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B
8、C1与平面A1BD所成角的正弦值为_. 解析建系如图，设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， A(1,0,0)，,1,2,3,4,AC1平面A1BD.,1,2,3,4,1,2,3,4,解析建立如图所示的空间直角坐标系， 设BB11，则A(0,0,1)，,1,2,3,4,即AB1与C1B所成角的大小为90. 答案90,1,2,3,4,4.如图，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角 坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z 轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2， VDC.当 时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值. 解由于ACBC2，D是AB的中点， 所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).,1,2,3,4,课堂小结,利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系.首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系.,
