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1、1,可分离变量方程,一阶线性微分方程,齐次方程,第二节 一阶微分方程,伯努利方程,2,一、可分离变量的方程,2. 解法,为微分方程的解.,1. 定义,隐式通解,称为可分离变量的方程.,3,例 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,(C1为任意常数),(C为任意常数),5,例 解初值问题,解:,两边积分, 得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,分离变量, 得,6,通解为,解,例,7,二、齐次方程,形如,称为齐次方程.,即,代入原方程, 得,的方程,令,分离变量,两边积分,求出通解后,就得到原方程的通解.,2. 解法,1. 定义,8,例 求微分方程,解:,代入原方
2、程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(C 为任意常数),通解.,9,例 求方程,解,将方程写为,齐次方程,方程变为,即,积分得,通解.,10,三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式,上面方程称为,上面方程称为,如,线性的;,非线性的.,齐次的;,非齐次的.,1. 定义,11,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,2. 解法,(用分离变量法),(C1为任意常数),2. 线性非齐次方程,设想,解,C(x)为待定函数,12,即,一阶线性非齐次微分方程的通解为,13,一阶线性微分方程,通解为,1. 一阶线性齐次方程,(分离变量法),2. 一阶线性非齐次方程,设解,通解为,14,非
3、齐次方程的一个特解,对应齐次方程的通解,一阶线性方程解的结构,常数变易法,把对应齐次方程通解中的常数变易为,待定函数的方法.,15,解,例,16,解,例,通解为,齐次方程,常数变易法,(1),(2),17,练习,解初值问题:,解,将方程写为,由初始条件,特解为,一阶非齐次线性方程,18,例 解方程,若将方程写成,则它既不是线性方程,又不能分离变量.,若将方程写成,以x为未知函数,即,一阶非齐次线性方程.,分析,y 为自变量的,19,此外, y = 1也是原方程的解.,解,20,即,得,伯努利方程的通解:,令,2. 解法,方程两边同除以,四、伯努利方程,1. 定义,21,解,例,伯努利方程,作变换,得,通解为,故原方程的通解为,22,求解下列微分方程,例,解题提示,方程中出现,等形式的项时,通常要做相应,的变量代换,五、利用变量代换求解方程,23,解,求微分得,代入方程,可分离变量方程,24,解,分离变量法得,所求通解为,可分离变量方程,25,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,一阶线性方程.,可分离变量方程,方程变形为,26,解,原方程,再令,齐次方程,27,作业,习题6.2 (18页),1. (1)(3)(4) 2. (双) 4. (双) 5.(1)(3) 6.(2),
