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1、(对称式),可分离变量的微分方程,形如,解法,分离变量法,为微分方程的解,叫做方程的隐式解又叫隐式通解.,二、典型例题,例1 求解微分方程,的通解.,例2,例3 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任一,切线段均被切点平分，求这曲线方程。,思考与练习,化下列方程为可分离形式：,例1 解微分方程,例 2 解微分方程,例 3 解微分方程,1.定义 一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一阶线性微分方程,一、线性方程,2.解法,齐次方程的通解为,分离变量法:,常数变易法,对应齐次方程通解,非齐次方程特解(C=0),非齐次方程的通解为,例1,例2 如图所示，平行于
2、y轴的动直线被曲线,截下的线段PQ之长数值上,等于阴影部分的面积,求曲线y=f(x).,例3 解方程,二、伯努利方程,1.定义: 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,2.解法: 经过变量代换化为线性微分方程.,例 3,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,思考与练习,判别下列方程类型:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,
