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1、2020/7/30,1,第三章 分层随机抽样,第一节 分层随机抽样的定义、使用场合以及符号 第二节 估计量及其性质 第三节 样本量的分配原则 第四节 样本量的确定 第五节 分层抽样的若干问题,2020/7/30,2,第一节 引 言,一、定义 在抽样之前，先将总体N个单元划分成L个互不重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大小分别为 ，这个层合起来就是整个总体 ，然后，在每个层中分别独立地进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所得到的样本称为分层样本。 如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则称为分层随机抽样,不重不漏,2020/7/30,3,作用,分层抽样的抽样效率较高，也就是说分层抽样的估计精度较
2、高。这是因为分层抽样估计量的方差只和层内方差有关，和层间方差无关。 分层抽样不仅能对总体指标进行推算，而且能对各层指标进行推算。 层内抽样方法可以不同，而且便于抽样工作的组织。,2020/7/30,4,二、分层原则：总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个层或不属于任何一个层。,1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对象的不同类型进行划分。 2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精度的目的。 3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类值以及提高估计精度的目的。 4.实施：抽样
3、组织实施的方便，通常按行政管理机构设置进行分层。,2020/7/30,5,例题,例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。 为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由各省运输管理部门负责省内的调查工作。 各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。 为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。 例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查，根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。 因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层是有必要的。,2020/7/30,6,三、符号说明 (关于第h层的记号 ),层号,
4、2020/7/30,7,第二节 估 计 量,一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 的估计 分层随机样本，总体均值 的简单估计,2020/7/30,8,估计量的性质,性质1：对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计（ ），则 是 的无偏估计。 的方差为： 只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。 各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。,2020/7/30,9,证明性质1,由于对每一层有 因此， 估计量的方差 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全为0，从而有,2020/7/30,10,性质2：对于分层随机抽样， 是 的无偏估计， 的方差为：,
5、2020/7/30,11,证明性质2：,对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样，对每一层有 因此，由性质1，有 由第二章性质2，得 因此,2020/7/30,12,性质3：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：,2020/7/30,13,证明性质3：,对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样，由第二章性质3，得 的无偏估计为： 因此， 的一个无偏估计为：,2020/7/30,14,二、对总体总量的估计,总体总量 的估计为： 如果得到的是分层随机样本，则总体总量的简单估计为：,2020/7/30,15,2.估计量的性质,性质4：对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计，则 是 的无偏估计。
6、 的方差为：,2020/7/30,16,性质5：对于分层随机抽样， 的方差为：,2020/7/30,17,性质6：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：,2020/7/30,18,例3.1,调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。,2020/7/30,19,2020/7/30,20,2020/7/30,21,三、对总体比例的估计,总体比例P的估计为： 估计量的性质,性质7：对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计 （ ），则 是 的无
7、偏估计。 的方差为：,2020/7/30,22,性质8：对于分层随机抽样， 是 的无偏估计，,因而 的方差为：,2020/7/30,23,性质9：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：,2020/7/30,24,例3.2,在例3.1的调查中，同时调查了居民户拥有家庭电脑的情况，获得如下数据（单位：台），要估计该地区居民拥有家庭电脑的比例及估计的标准差。,2020/7/30,25,解：由上表可得， 根据前面对各层层权 及抽样比 的计算结果，可得各层估计量的方差： 因此，该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为： 估计量的方差为： 估计量的标准差为：,2020/7/30,26,第三节 样本量在各层的分配
8、,确定样本量：总的样本量，各层样本量 估计量的方差不仅与各层的方差有关，还和各层所分配的样本量有关。 实际工作中有不同的分配方法，可以按各层单元数占总体单元数的比例分配，也可以采用使估计量总方差达到最小、费用最小。,2020/7/30,27,【例3.1】,调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。,2020/7/30,28,40.3,2020/7/30,29,2020/7/30,30,一、比例分配,按各层单元数占总体单元数的比例，也就是
9、按各层的层权进行分配. 对于分层随机抽样，这时总体均值的估计是,自加权,2020/7/30,31,总体中的任一个单元，不管它在哪一个层，都以同样的概率入样，因此按比例分配的分层随机样本，估计量的形式特别简单。这种样本也称为自加权的样本。,总体比例的估计是,2020/7/30,32,二、最优分配,（一）最优分配 在分层随机抽样中，如何将样本量分配到各层，使得总费用给定的条件下，估计量的方差达到最小，或给定估计量方差的条件下，使总费用最小，能满足这个条件的样本量分配就是最优分配。,2020/7/30,33,对所有层成立时， 达到极小,常数,2020/7/30,34,简单线性费用函数，总费用 由此得
10、出下面的行为准则，如果某一层 单元数较多 内部差异较大 费用比较省 则对这一层的样本量要多分配一些。,2020/7/30,35,（二）Neyman（内曼）分配,如果每层抽样的费用相同，最优分配可简化为 这种分配称为Neyman分配。这时， 达到最小。,2020/7/30,36,2020/7/30,37,例3.3,（续例3.1），如果样本量仍为40，则按比例分配和Neyman分配时，各层的样本量应为多少？ 按比例分配时，各层的样本量为：,2020/7/30,38,对于Neyman分配，,2020/7/30,39,某些层要求大于100%抽样时的修正,按最优分配时，有时抽样比f较大，某个层的 又比较
11、大，则可能出现按最优分配计算的这个层的样本量 超过 的情况。 实际工作中，如果第 k 层出现这种情况，最优分配是对这个层进行100%的抽样，即取 ，然后，将剩下的样本量 按最优分配分到各层。,2020/7/30,40,第四节 样本量的确定,令 当方差 给定时,2020/7/30,41,当按比例分配时， 实际工作中，n的计算可以分为两步，先计算： 然后进行修正：,2020/7/30,42,当按Neyman分配时，,2020/7/30,43,例3.4,（续例3.1），如果要求在95%置信度下，相对误差不超过10%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？,=2679.22,2020/7/30,44,当按Neyman分配时：,2020/7/30,45,二、最优分配需要考虑费用时,给定V时,2020/7/30,46,给定C时,2020/7/30,47,三、总体参数为P的情形,当方差给定时，如果 都比较大，使得 ,则总样本量为 （一）按比例分配,2020/7/30,48,（二）Neyman分配 计算样本量之前，需要对 作预估计。,2020/7/30,49,例3.5,（续例3.2），如果要求在95%置信度下，绝对误差不超过5%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？ 按比例分配时：,2020/7/30,50,Neyman分配时：,
