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1、导数及其应用,要点梳理 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 ， 若x=x2-x1,y=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为 .,2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义 称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f（x0）或y|x=x0， 即f(x0)= = . （2）几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点 处的 .相应地，切线方程为 .,(x0,f(x0),切线的斜率,y-y0=f(x0)(x-x0),3.函数f(x)的导函数 称
2、函数f(x)= 为f（x）的导函 数，导函数有时也记作y. 4.基本初等函数的导数公式,cos x,0,-sin x,axln a(a0),nxn-1,要点梳理 1.函数的单调性 在（a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0. f(x)0f(x)为 ； f(x)0f(x)为 .,3.2 导数的应用,增函数,减函数,2.函数的极值 （1）判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧 ，右侧 ， 那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 求f(x);
3、求方程 的根； 检查f(x)在方程 的根左右值的符号. 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,f(x)=0,极大值,极小值,3.函数的最值 （1）在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在a,b上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在（
4、a,b)内的 ； 将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),f(a),4.生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是:,题型一 导数的几何意义 【例1】 （12分）已知曲线方程为y=x2, （1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程； （2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程. （1）A在曲线上,即求在A点的切线方程. （2）B不在曲线上，设出切点求切线方程. 解 （1）A在曲线y=x2上, 过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点. 2分 由y=x2,得y=2x,y|x=2=4, 4分
5、因此所求直线的方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 6分,思维启迪,（2）方法一 设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线 方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分 y=kx+5-3k, y=x2 得x2-kx+3k-5=0,=k2-4(3k-5)=0. 整理得:(k-2)(k-10)=0,k=2或k=10.10分 所求的直线方程为2x-y-1=0,10 x-y-25=0.12分 方法二 设切点P的坐标为(x0,y0), 由y=x2得y=2x, x=x0=2x0,8分 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 又y0= 代入上式整理得:x0=1或x0=5,10分 切点
6、坐标为(1,1),(5,25), 所求直线方程为2x-y-1=0,10 x-y-25=0.12分,由,探究提高 （1）解决此类问题一定要分清“在某点 处的切线”，还是“过某点的切线”的问法. （2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点 坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f(x0), 写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某 点”为切点. （3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当 曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且 只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.,题型二 函数的单调性与导数 【例2】已知函数f(x)=x3-ax-1. （1）若f(x)在实数集
7、R上单调递增，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 求f(x)f(x)0或f(x)0恒成立a的范围.,思维启迪,解 （1）由已知f(x)=3x2-a. f（x）在（-，+）上是增函数， f（x）=3x2-a0在（-，+）上恒成立. 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只要a0. 又a=0时，f(x)=3x20， f（x）=x3-1在R上是增函数，a0. （2）由f(x)=3x2-a0在（-1，1）上恒成立. a3x2在x（-1，1）上恒成立. 又-1x1,3x23,只需a3. 当a=3时，f(x)=3(x
8、2-1)在x(-1,1)上， f(x) 0, 即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.,探究提高 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立，且f(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f（x0）=0,只要这样的点不能充
9、满所给区间的任何一个子区间，,因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f(x)0或f(x)0恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f(x)不恒为0，则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.,题型三 函数的极值与导数 【例3】设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点. （1）试确定常数a和b的值； （2）试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由. （1）函数的导函数在极值点处的函数值为0，列方程组
10、求解. （2）极大值点与极小值点的判断应根据极值点的定 义判断.,思维启迪,解 （1）f(x)= +2bx+1,函数定义域为（0，+），列表,x=1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点. 此题属于逆向思维，但仍可根据函数极值 的步骤求解，但要注意极值点与导数之间的关系，利 用这一关系（f (x)=0）建立字母系数的方程，通过 解方程（组）确定字母系数，从而解决问题.,探究提高,题型四 函数的最值与导数 【例4】已知a为实数，且函数f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数f(x); (2)若f(-1)=0，求函数f(x)在-2，2上的最大值、最小值. 先求函数的极值，然后再
11、与端点值进行比较、确定最值. 解 （1）f(x)=x3-ax2-4x+4a, 得f(x)=3x2-2ax-4.,思维启迪,（2）因为f(-1)=0,所以a= , 有f(x)=x3- x2-4x+2,所以f(x)=3x2-x-4. 又f(x)=0,所以x= 或x=-1. 又f = ,f(-1)= , f(-2)=0,f(2)=0, 所以f(x)在-2，2上的最大值、最小值分别为 、 .,探究提高 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时，要先求函数y=f（x）在a，b内所有使f（x）=0的点，再计算函数y=f（x）在区间内所有使f（x）=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.,
