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1、,第 三 章,多元函数微分学,31 多元函数的概念,一、多元函数的概念,以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等.,所谓多元函数, 直观的说, 就是有多个自变量的函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化.,圆柱体体积 V = r 2 h,体积 V 随 r, h的变化而变化.,一对数(r, h), 就有唯一的一个V与之对应.,或者说, 任给,二元函数定义,设 D 是 xy 平面上的一个点集,即 D R2, 若对任意的点 X = (x, y
2、)D R2, 按照某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的二元实值函数, 记作,f : D R, X = (x, y) z .,称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作 f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值.,称 D 为函数 f 的定义域. D 在 f 下的像集 f (D)= f (X )| XD 称为 f 的值域.,习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 另外, 称 x, y 为自变量, z 为因变量.,比如
3、 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey .,注1. 一般说来, 自变量 x , y 都是独立变化的. 它们只受到 (x, y) D 的限制.,f (x, y) 的表达式, 算 f (x0, y0) 的方法与一元函数类似.,另外, 若给出了,注2. 特别, 若定义域 D 是 x y 面上一条曲线. D: y = g(x).,= f (x, g(x)成为一元函数.,则二元函数 z = f (x, y),注2, 说明二元函数是一元函数的推广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形. 一元函数是定义在 xy 面上一条直线(x 轴)上的二元函数.,类似的, 有 n 元函数定义.,设D
4、Rn , 若对任意的 X = (x1, x2, , xn) D Rn , 按某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的 n 元实值函数. 记作,f : D R , X = (x1, x2, , xn) z .,并记 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, , xn).,定 义,解: 与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.,例1. 求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形.,x + y 0. 故 定义域 D = (x, y)| x + y 0,画直线 y1 = x. 由于 D 中点 (
5、x, y) 的纵坐标 y 要大于直线 y1 = x 上点的纵坐标 y1, 故 D 表示直线 y1 = x 上方点的集合. (不包括边界y1 = x上的点),为画 D 的图形, 由x + y 0, 得 y x = (y1).,x + y = 0,x,y,o,如图,y x,D,(不包括直线x + y = 0),例2.,解:,故,故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括圆周).,x,y,o,x2 + y2 = 1,(包括圆周),D,二、平面区域,1. 邻域:,以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以 为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.,即,记 (X0,
6、) = U (X0, ) X0 , 称为 X0 的去心 邻域.,如图,U (X0, ), (X0, ),当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和 (X0).,2. 内点:,设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存在邻域 U(X0 , ) E , 则称 X0 为 E 的内点.,E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0.,D = (x, y)| x2 + y2 1 ,如图,易知, 圆内部的每一点都是 D 的内点. 但圆周上的点不是 D 的内点.,又如 z = ln (x+y)的定义域 D = (x, y)| x+y 0,易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D
7、=D,但直线上的点不是D的内点.,3. 边界点:,设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 , )内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0 为 E 的边界点.,E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E.,如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图,E 的边界点可以是 E 中的点, 也可以不是 E 中的点.,D,4. 开集,设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点.,即 E E0, 则称 E
8、是一个开集.,由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0,故也可说,比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是开集.,若E = E0 , 则称 E 是一个开集.,规定, , R2为开集.,又比如, E 如图,若 E 不包含边界, 则 E 为开集.,若 E 包含边界, 则 E 不是开集.,结论: 非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点.,证:,必要性. 设 E 为开集, X E,由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点.,充分性. 若 E 中每一点都不是 E 的边界点.,要
9、证 E 为开集.,X E,由于 X 不是 E 的边界点.,故必存在X的一个邻域U(X, ),在这个邻域 U(X, )内或者全是 E 中的点. 或者全都不是 E 中的点, 两者必居其一.,由于X E, 故后一情形不会发生.,因此, U(X, )内必全是 E 中的点. 故 X E0, 即, E E0 , 所以 E 是开集.,5. 连通集,设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集.,如图,X,Y,E 连通,从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接.,例1, 2中的 D 都是连通集.,如图,
10、6. 开区域(开域),设 E 是一平面点集.,比如, 例1中 D 是开区域.,如图.,从几何上看, 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.,若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域.,7. 闭区域 (闭域),若 E 是开域, 记,称为闭区域.,如图.,易见, 例2中的 D 是闭区域. 从几何上看, 闭区域是连成一片的. 包括边界的平面点集.,(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.,8. 设 E R2, 若存在 r 0, 使 E U(O, r), 则称 E 为有界集. 否则称 E 为无界集.,易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.,
11、9. 聚点.,设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于 E . 则称 X0 是E 的一个聚点.,从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点. 即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.,如图,1. 聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于 X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证).,2. E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E .,3. E 的内点一定是 E 的聚点.,4. 若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.,即, 区域中的
12、任一点都是该区域,的聚点.,邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.,三、二元函数的几何意义,设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D .,按二元函数定义, X = (x, y)D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z).,当 X 在 D 中变动时, 点 M (x, y, z)在空间中变动,当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中 织 出一片曲
13、面.,即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 xy 面上的投影区域.,M (x, y, z),z = f (X) = f (x, y),如 z = ax +by + c , 表平面.,注意, 三元函数 u = f (x, y, z)的定义域是 R3 的一个子集.,三元函数无几何意义.,32 多元函数的极限与连续,一、二元函数的极限,回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),当 x 不论是从 x0的左边,还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.,表示,如图,就是 0, 0.,当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .,设二元函数 z = f (X)
14、 = f (x, y), 定义域为D.,如图,D,z = f (x, y),X,X,如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A,则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.,f (X),类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A | 刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离,设二元函数 z = f (X) = f (x, y). 定义域为D. X0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数.,若 0, 0, 当,对应的函数值满足,
15、| f (X) A | ,则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限.,记作,或,也可记作 f (X) A(X X0), 或, f (x, y) A (x x0, y y0 ),定义1,注1. 定义1中要求X0是定义域D的聚点, 这是为了保证 X0的任意近傍总有点X使得f (X)存在, 进而才有可能判断 | f (X) A | 是否小于 的问题.,若D是一区域. 则只须要求,就可保证 X0 是D的一个聚点.,另外, 0 |X X0 | 表示 X 不等于X0.,2.,如图,对二元函数 f (X), 如图,有, 点X以任何方式趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.
16、,因此, 如果当X以某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定二重极限,若X以不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限,3. 极限定义可推广到三元以上函数中去, 且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.,例1.,用定义证明:,证:, 0, 时, 有 | f (x, y) 0 | ).,考虑 | f (x, y) 0 |,(要证 0, 使得当,要使 | f (x, y) 0 | , 只须,即,| f (x, y) 0 | ,故,例2. 设f (x, y) =,证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.,证: 由注2知, 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.,考察 X =(x, y)沿平面直线
